专题 导数与不等式的解题技巧
一．知识点
基本初等函数的导数公式
<>常用函数的导数
①<>′＝<为常数>; 青岛华臣电影院②<>′＝；
③<>′＝； ④′＝；
⑤<>′＝．
<>初等函数的导数公式
2018高考作文题①<>′＝； ②< >′＝；
③< >′＝； ④<>′＝；
⑤<>′＝； ⑥< >′＝；
⑦<>′＝．
．导数的运算法则
<>[<>±<>]′＝；
<>[<>·<>]′＝；
<>′＝．
．复合函数的导数
<>对于两个函数＝<>和＝<>,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这两个函数<函数＝<>和＝<>>的复合函数为＝<<>>．
<>复合函数＝<<>>的导数和函数＝<>,＝<>的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
二．题型分析
筋膜哪个牌子质量好〔一〕函数单调性与不等式
例．[一轮复习]已知函数<>＝＋ ,∈<－,>,则满足<－>＋<－>>的的取值围是< >
．<,> ．<,> ．<,> ．<,>
[答案]
[分析]在区间〔﹣,〕上,由〔﹣〕＝﹣〔〕,且′〔〕＞可知函数〔〕是奇函数且单调递增,由此可求出的取值围．
[点睛]本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题,综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化,属于中档题．
练习．对任意,不等式恒成立,则下列不等式错误的是〔 〕
． ．
． ．
[答案]
[分析]构造函数,对其求导后利用已知条件得到的单调性,将选项中的角代入函数中,利用单调性化简,并判断正误,由此得出选项.
[解读]构造函数,则,∵,∴,即在上为增函数,则,即,即,即,又,即,即,故错误的是．故选：．
[点睛]本小题考查构造函数法,考查利用导数研究函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有,也含有其导数的不等式,根据不等式的结构,构造出相应的函数.如已知是,可构造,可得.
〔二〕函数最值与不等式
例．[省市学年高三第一学期质量抽测]已知函数,对于任意,,恒成立,则的取值围是〔 〕
． ． ． ．
[答案]
一边一边造句二年级[分析]由题意知即等价转化为,通过研究函数导数从而得到最值,依次验证选项即可.
〔四〕不等式中存在任意问题
例．[省皖南八校届高三第二次〔月>联考数学]已知函数,,对于,,使得,则实数的取值围是
． ．． ．
[答案]
[解读],,使得,可得,利用,的单调性、最值即可求得.
好名言[详解]对于,,使得,
等价于
,
因为是增函数,由复合函数增减性可知
在上是增函数,
所以当时,,
令,则,
若时, ,,
所以只需,解得.
若时,,,
所以只需,解得.
当时,成立.
综上,故选.
练习.已知函数,函数〔〕,若对任意的,总存在使得,则实数的取值围是〔〕
． ． ． ．
[答案]
[解读]由题意,可得在的值域包含于函数的值域,运用导数和函数的单调性和值域,即可求解.
[详解]由题意,函数的导数为,
当时,,则函数为单调递增；
当时,,则函数为单调递减,
即当时,函数取得极小值,且为最小值,
又由,可得函数在的值域,
由函数在递增,可得的值域,
由对于任意的,总存在,使得,
可得,即为,解得,故选.
[点睛]本题主要考查了函数与方程的综合应用,以与导数在函数中的应用,其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域,运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以与推理与运算能力,属于中档试卷.
练习．函数,,若对,,,则实数的最小值是．
[答案]
[解读]利用导数以与指数函数的性质,分别求出函数〔〕,〔〕的最值,将问题转为求〔〕≥〔〕即可．
[详解]
,在递减,在递增,所以,在单调递增,,由已知对,,,可知只需〔〕≥〔〕
即,
故答案为：.
练习．已知函数,且,,若存在,使得对任意,恒成立,则的取值围是．
[答案]
[解读]存在,使得对任意的,恒成立,即 ,由在上递增,可得,利用导数可判断在上的单调性,可得,
由 ,可求得的围；康熙在位多少年
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