安徽省芜湖市重点中学2024届新高三起点调研测试数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x
f x =-，则()()20f f -+=（ ）
A ．3-
B ．2
C ．3
D ．2-
2．若直线20x y m ++=与圆2
2
2230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ）
A ．1
B ．2
C D ．3
3．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
4．要得到函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位 5．已知()4sin 5πα+=
，且sin 20α<，则tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．7
B ．7-
C ．
17
D ．17
-
6．设函数()2
2cos cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()17,22f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．
1
2
B ．
32
C ．1
D ．
72
7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，在区间ππ,155⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．
1234 B ．
111
4
C ．
105
4
D ．
117
4
8．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中
有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．
14
B ．祝愿逝者在天堂的语句
15
C ．
25
D ．
35
9．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132
B ．3.137
C ．3.142
D ．3.147
10．已知i 是虚数单位，若1z
i i
=-，则||z =（ ） A ．2
B ．2
C ．3
D ．3简单的舞蹈教学
11．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且44422222
2a b c a b c a b
狗狗名字大全+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）
A ．2313⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
,
B ．()
1,3
C ．2313⎛⎤
⎥ ⎝⎦
,
D ．(1,3]
12．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住
B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%
D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同； ②支出最高值与支出最低值的比是6:1； ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份．
14．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天. 15．若存在直线l 与函数1
()(0)f x x x
=<；及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．
16．已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为2，且过点(2,0)P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设F 为C 的左焦点，点M 为直线4x =-上任意一点，过点F 作MF 的垂线交C 于两点A ，B （ⅰ）证明：OM 平分线段AB （其中O 为坐标原点）；
（ⅱ）当||
||
MF AB 取最小值时，求点M 的坐标．
18．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．
（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．
19．（12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223
,3
3
A b c abc a π
=+-
=． （1）求a 的值；
（2）若1b =，求ABC ∆的面积．
20．（12分）已知()3
2
2澹怎么读
2f x x ax a x =+-+.
（1）若0a ≠，求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式()2
2ln 1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围.
21．（12分）已知等差数列的前n 项和为，且，．
求数列的通项公式； 求数列
的前n 项和．
22．（10分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121()n n a S n N *+=+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1
{}n
d 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【解题分析】
由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【题目详解】
因为()f x 是定义在[]22-,
上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]
0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.
故选：A ． 【题目点拨】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键． 2．A 【解题分析】
将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可. 【题目详解】
圆2
2
2230x x y y ++--=的标准方程2
2
(1)(1)5x y ++-=，圆心坐标为(1,1)-,，因为直线20
x y m ++=
与圆2
2普及的意思
2230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心，得2(1)10m ⨯-++=，即1m =.
故选：A 【题目点拨】
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题. 3．A 【解题分析】
求出2
()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
【题目详解】
2()626()3
a
f x x ax x x '=-=-，蒸馒头是冷水下锅还是热水下锅
若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，
()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；
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