专题十二概率统计大题
（一）命题特点和预测：
分析近8年的全国新课标1理数试卷，发现8年8考，每年1题．以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，位置为18题或19题，难度为中档题.2019年仍将以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，难度仍为中档题.
（二）历年试题比较：
年份题目
2018年【2018新课标1，理20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20
件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率
都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已
知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25
腾迅客服元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
2017年【2017新课标1，理19】（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，
并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的
a型血天蝎座零件的尺寸服从正态分布
2 (,)
Nμσ．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之
外的零件数，求
凄美的句子(1)
P X≥及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，
，其
中
i
x 为抽取的第i 个零件的尺寸，
．
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆ
μ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，用剩下的数据估计
μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布
2
(,)N μσ，则，
，．
2016年 【2016高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一
易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记
X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损
零件数.
（I ）求X 的分布列； （II ）若要求
，确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
2015年 【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的
值.
x
y w
8
2
1
()
i
i x x =-∑
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中i i w x = ，w =
1
搞鬼一家人8
8
1
i
i w
=∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
搬新家祝福语（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，=v u αβ-
2014年 【2014课标Ⅰ，理18】
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中
点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布()2,
Nμσ，其中μ近似为样本平均数x，2
σ近似为样本方差2s.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求EX.
附：
若则，
。
2013年【2013课标全国Ⅰ，理19】(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中
任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件
作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1
2
，且各件产品
是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量
检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
2012年【2012全国，理18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈
N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14151617181920
频数10201616151310
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方
差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．2011年【2011全国新课标，理19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)
做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110] 频数82042228
B配方的频数分布表
指标值分组[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110] 频数412423210
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)(理)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以
试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
【解析与点睛】
（2018年（20）【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为.
柴胡的作用与功效（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即
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