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专题07.竖直面内圆周运动的杆球模型
一．选择题
1.（2023山东潍坊期末）火星的半径是地球半径的二分之一，质量为地球质量的十分之一，忽略星球自转影响，地球表面重力加速度g =10m/s²。假定航天员在火星表面做了如下实验：一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，1s 后与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R =5m ，小球可看作质点且质量m =5kg 。则（
）
A.火星表面重力加速度大小为2.5m/s²
B.小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离为4m
C.小球经过管道的A 点时，对管壁的压力为116N
D.小球经过管道的B 点时，对管壁的压力为66N 【参考答案】BC 【名师解析】
忽略星球自转影响，在星球表面的物体受到的万有引力等于重力，则有
2Mm
机电一体化专业课程G
mg r =可知
2GM g r =
地地2
GM g r =
火火火由此可得2
224m/s M r g g M r =
⋅=火地火地火
故A 错误；小球运动到C 点的竖直分速度为y v g t =火与倾角为45°的斜面垂直相碰，则有tan 45x y
v v ︒=
水平位移为x x v t
=联立并代入数据解得点C 与B 点的水平距离为4m x =，故B 正确；对小球从A 点到B 点的过程，由动能定理可得2211
222
x A mg R mv mv -⋅=
-火在A 点，对小球受力分析，由牛顿第二定律可得2
1A v F mg m
R
-=火由牛顿第三定律得1F F =压，联立解得116N F =压，故C 正确；
小球经过管道的B 点时，设管壁给小球向下压力F 2，由牛顿第二定律有2
2x v F mg m
R
+=火解得24N F =-，说明管壁给小球有向上压力4N ，根据牛顿第三定律，小球经过管道的B 点时对管壁的压力为4N ，故D 错误。
2.(2021江西南昌一模)如图所示，在竖直平面内固定有半径为R 的光滑圆弧轨道ABC ，其圆心为O ，B 在O 的正上方，A 、C 关于OB 对称，AOB α∠=。一质量为m 可看成质点的物块在A 处以初速度0v 沿着轨道切线方向向上运动，已知重力加速度为g ，下列说法正确的有（
）
A.若37α=︒，则物块沿着轨道运动至B 时的最大动能为1
2
mgR B.若37α=︒，则物块沿着轨道运动至B 时的最大动能为
15
mgR C.若60α=︒，则只要0v 取一合适的值，物块就能沿轨道到达C 处D.若60α=︒，则无论0v 取何值，物块均不能沿轨道到达C 处【参考答案】BD 【名师解析】
若物块在B 点有最大动能，则物块在A 点时有最大速度，此时由重力指向圆心的分力提供物体做圆周运动
的向心力，即20
cos v mg m R
α=，
物块从A 点到B 点，由动能定理得201(1cos )2
kB mgR E mv α--=-
代入数据解得1
5
kB E mgR =
。物块在B 点有最大速度时，当支持力恰好为0时，由2max B
v mg m R
=，解得max B v gR
=动能为2max 1
22
1kB B kB E mv mgR E =
=>，选项A 错误B 正确；当物块在A 点的支持力恰好为0时，由2
cos v mg m R
α=，
假设物块恰好到达B 点，则由动能定理得201(1cos )2
kB mgR E mv α--=-代入数据解得21
04
12kB B E mv mgR =
=-<；即B v 无解，则无论0v 取何值，物块均不能沿轨道到达C 处，故C 错误，D 正确。
3．（2023·陕西西安名校联考)如图所示，一质量为m 的小球置于半径为R 的光滑竖直圆轨道最低点A 处，B 为轨道最高点，弹簧一端固定于圆心O 点，另一端与小球拴接．已知弹簧的劲度系数k ＝mg
R
，原长L ＝2R ，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v 0，已知重力加速度为g ，则
A ．当v 0较小时，小球可能会离开圆轨道
B ．若2gR <v 0<5gR ，则小球会在B 、D 间脱离圆轨道
情侣签名一对C ．只要v 0>4gR ，小球就能做完整的圆周运动
D ．只要小球能做完整的圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v 0无关【参考答案】CD
【名师解析】因为弹簧的劲度系数k ＝
mg
R
，原长L ＝2R ，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为F ＝k (L －R )＝kR ＝mg ，方向始终背离圆心，无论小球在CD 以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于或等于弹簧的弹力(在CD 以下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力)，所以无论v 0多大，小球均不会离开圆轨道，故A 、B 错误．小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零时，在最低点的速度最小，有12m v 2min ＝2mgR ，
婚礼主持人台词所以只要v 0>v min ＝4gR ，小球就能做完整的圆周运动，故C 正确．在最低点时，设小球受到的支持力为N ，有N －kR －mg ＝m v 20
R
，解
得N ＝2mg ＋m v 20
R 。运动到最高点时受到轨道的弹力最小，设为N ′，设此时的速度为v ，由机械能守恒有12m v 20
好莱坞战争大片＝2mgR ＋12m v 2，此时合外力提供向心力，有N ′－kR ＋mg ＝m v 2R ，联立解得N ′＝m v 20
R －4mg ，得压力之差
ΔN ＝N －N ′＝6mg ，与v 0无关，故D 正确．
4．(2020·重庆一中质检)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R ，A 、B 两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的
圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O 且大小恒为F ，当质点以速率v ＝gR 通过A 点时，对轨道的压力为其重力的8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m ，重力加速度为g ，则(
)
A ．强磁性引力的大小F ＝7mg
B ．质点在A 点对轨道的压力小于在B 点对轨道的压力
C ．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A 、B 两点的压力差恒为5mg
D ．若强磁性引力大小恒为2F ，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B 点的最大速率为15gR 【参考答案】D 【名师解析】
在A 点，对质点受力分析并结合牛顿第二定律有F ＋mg －F A ＝m v 2
R
，根据牛顿第三定律有
F A ＝F A ′＝8mg ，联立解得F ＝8mg ，选项A 错误。质点能完成圆周运动，在B 点，根据牛顿第二定律有F －mg －F B ＝m v B 2R ，根据牛顿第三定律有F B ＝F B ′；从A 点到B 点的过程，根据动能定理有mg ·2R ＝1
2m v B 2
－1
2
m v A 2，联立解得F A ′－F B ′＝6mg ，选项B 、C 错误。若强磁性引力大小恒为2F ，在B 点，根据牛顿第二定律有2F －mg －F B ＝m v B 2
R ，由数学知识可知当F B ＝0时，质点速度最大为v B m ，可解得v B m ＝15gR ，选
项D 正确。
5．(2020·衡水中学质检)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(
)
A ．小球过最高点的最小速度是gR
B．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【参考答案】B
【名师解析】由于杆可以表现为拉力，也可能表现为支持力，所以小球过最高点的最小速度为0，故A 错误；当小球在最高点的速度v＝gR时，靠小球重力提供向心力，杆的弹力为零，故B正确；杆在最高点可以表现为拉力，也可以表现为支持力，当表现为支持力时，速度增大作用力减小，当表现为拉力时，速度增大作用力增大，故C、D错误。
6.（2023四川泸州名校联考）在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。要求学员在半坡定点位置a启动汽车，一段时间后匀速率通过最高点b以及剩下路段，如图所示。下列说法正确的是
A.若汽车以额定功率从a点加速到b点，牵引力一直增大
B.在最高点b汽车处于平衡状态
C.在最高点b汽车对路面的压力小于汽车的重力
D.汽车从a到b运动过程中，合外力做功为0
抖音上很火的个性签名【参考答案】.C
【名师解析】由P=Fv可知，若汽车以额定功率从a点加速到b点，牵引力一直减小，选项A错误；匀速率通过最高点b以及剩下路段，在最高点b汽车处于匀速圆周运动，加速度向下，不是平衡状态，是失重状态，.在最高点b汽车对路面的压力小于汽车的重力，选项B错误C正确；汽车从a到b运动过程中，动能增大，由动能定理可知，合外力做正功，选项D错误。
【名师点评】驾考，是每个人司机都经历的。驾考很多情景都可以作为高考命题素材，可以考查匀变速直线运动规律、圆周运动、牛顿运动定律、功和功率等知识点，以驾考为情景命题可能是高考命题的新热点。
7.（2023安徽蚌埠名校联考）如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杄可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始，不计一切阻力，则（）
角速度ω
A．在轻杆转过的过程中，角速度逐渐减小
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