专题十 计数原理
【真题典例】
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组
合挖命题【考情探究】
5年考情
考点
内容解读
考题示例
考向
预测热度
计数原理、排列与组合
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和
“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题
2.理解排列、组合的概念以及排列数、组合数公式，并能利用公式解决一些实际问题
2014北京,132013北京,122012北京,62011北京,12
计数原理与排列、组合的综合应用
★★☆
分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成，两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，这两个原理是最基本也是最重要的原理，是解答排列与组合问题，尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.排列与组合的综合是高考中的热点.本节
内容在高考中单独考查时，以选择题、填空题的形式出现，分值约为5分，属中档题.此外，还经常与概率、分布列问题相结合，出现在解答题的第(1)问中，难度中等或中等偏上.
破考点
【考点集训】
考点 计数原理、排列与组合
1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
答案 D
2.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A.240种
B.480种
C.720种
D.960种
答案 B
3.无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动，现需要在报名的2名男教师和6名女教师中选择5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，则不同的选择方法的种数为 .(结果用数字表示)
答案 50
4.在一次数学会议中，有五位老师来自A,B,C三所学校，其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位老师站成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有 种不同的站队方法.
答案 48
炼技法
【方法集训】
方法1 排列问题的常见解法
1.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144
B.120
C.72
D.24
答案 D
2.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72
B.120
C.144
D.168
答案 B
3.在一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A.34种
B.48种
C.96种
D.144种
答案 C
方法2 组合问题的常见解法
4.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( )
A.60种
B.70种
C.75种
D.150种答案 C苹果手机录屏功能在哪里
5.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A.24对 B.30对 C.48对 D.60对答案 C
6.大厦一层有A,B,C,D 四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有 种.(用数字作答) 答案 36
方法3 分组与分配问题的解题技巧
7.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份,1份4本，另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本;(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.解析 (1)无序不均匀分组问题.
先选1本，有种选法；再从余下的5本中选2本，有种选法；最后余下3本全选，有种选法.故共有分配C 16C 25C 3
3方式=60种.C 16C 25C 3
3(2)有序不均匀分组问题.
由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配，共有分配方式=360种.C 16C 25C 33A 3
3(3)无序均匀分组问题.
先分三步选，每步选2本，则有种方法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F，若第一C 26C 24C 2
2步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB,CD,EF)，则种分法中还有C 26C 24C 2
2(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)，共有种情况，而这种情况仅是A 33A 3
3AB,CD,EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有=15种.
C 26C 24C 2
2A 3
3
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·==90种.
C 26C 24C 2
2
A 33
A 33C 26C 24C 2
2(5)无序部分均匀分组问题.共有分配方式
=15种.
C 46C 12C 1
撩到对象流黄水的污句子1A 22
(6)有序部分均匀分组问题.
在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式
·=90种.
C 46C 12C 1
1
A 22A 3
3
(7)直接分配问题.
甲选1本，有种方法；乙从余下的5本中选1本，有种方法；余下4本留给丙，有种方法.共有分配方式C 1
6C 1
5C 4
4=30种.
C 16C 15C 4
4过专题【五年高考】
A 组 自主命题·北京卷题组
1.(2012北京,6,5分)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
鬼节是7月14还是15A.24
蚍蜉撼树的意思B.18
C.12
D.6答案 B
2.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 答案 96
3.(2011北京,12,5分)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.(用数字作答) 答案 14
B 组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A.24 B.48 C.60 D.72答案 D
2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24
B.18
C.12
D.9答案 B
3.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个
B.120个
C.96个神农架风景区
D.72个答案 B
个人所得税退税操作流程4.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 答案 16
5.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.(用数字作答)
答案 1 080
6.(2017浙江,16,5分)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.(用数字作答)
答案 660
7.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)
答案 1 560
C组 教师专用题组
1.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项，其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个
B.16个
C.14个
D.12个
答案 C
2.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5
B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)
D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
答案 A
3.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是( )
A.9
B.10
C.18
D.20
答案 C
4.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243
B.252
C.261
D.279
答案 B
5.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14
B.13
C.12
D.10
答案 B
6.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 .(用数字作答)
答案 590
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