第四届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选
教案设计
高中数学《购房中的数学》
一、 教案背景 1、面向学生： √中学 □小学 2，学科：数学 2、课时：1 3、学生课前准备： （1）复习等差数列和等比数列的定义、通项公式和前n项和公式； （2）阅读必修5第63页至第64页《购房中的数学》 （3）借助百度搜索查房地产和购房贷款等相关资料 （4）将4人分成一个小组，总共10个小组． |
二、 教学课题 1、知识与技能： （1）了解商品房和二手房的概念 （2）了解贷款购房的一般流程 （3）了解贷款购房的三种贷款的基本类型：商业（按揭）贷款，公积金贷款，商业公积金组合贷款． （4）理解银行贷款的两种还款方式：等额本息还款法和等额本金还款法，并能在实际问题中计算出两种还款方法的每月还款数额，贷款期限内的还款总额和累计支付利息． （5）借助具体问题概括出一般情况下等额本息还款法和等额本金还款法的每月还款公式． 2、过程与方法 通过互联网查资料，学会收集相关数据；通过由特殊到一般的研究方法，归纳概括出每月应还款钱数，培养学生抽象概括能力和合情推理能力． 3、情感态度与价值观 通过开展数学建模活动解决购房中的贷款问题，让学生体会“数学来源于生活”，并逐步形成数学的应用意识，发展学生的实践能力． |
三、 教材分析 《购房中的数学》是人教版普通高中教材必修5《数列》章节内容中的一个“探究与发现”的实践活动课．这节课是借助居民购房的一个具体事例来阐释当前一个社会生活现象——贷款买房．在这节课的前面学生已经学习了等差数列和等比数列的定义，通项公式和求和公式，为本节课的学习做了很好的知识储备．而运用等差数列和等比数列的相关知识来理解贷款买房的每月还款数额的计算原理是本节课的重点．高中学生思维活跃，乐于挑战，会借助互联网查相关资料，但是社会经验不足，对于贷款买房有耳闻，有接触，但是对其中的具体原理并不了解，因此本节课的难点仍然是贷款买房的每月还款数额的计算原理． 教学之前借助百度搜索了一些有关于贷款买房的相关资料，图片，课件，教案和视频等，并结合教学的实际需要，将这些内容整合到课堂教学中．首先用百度搜索查了最新的银行的贷款利率表和公积金贷款利率表，用于计算商业贷款和公积金贷款的利息．第二，用百度搜索查到了贷款的两种还款方式的区别的文章和视频，用于让学生了解不同还款方式的每月还款额的计算原理．第三，用百度查到了房贷的计算器，用于向学生展示快速计算贷款购房的每月还款数额及计算结果的校对． |
四、 教学方法 本节课的重难点在于理解贷款买房的每月还款数额的计算原理，为了突破这一重难点，本节课采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法，从一个具体的事例入手进行解决，再进一步把其中蕴含的计算原理通过课堂探究活动推广到一般的情况中，从而得到贷款买房的每月还款数额的计算公式．在这一探究中教师要充分调动学生的积极性，给予学生足够的思考时间，多让学生发言，进行小组间竞争，并适时予以点拨，在充分发挥教师的主导作用的同时，体现学生的主体地位． |
五、 教学过程 （一）创设情境，导入新课 1、如果你家里急用一笔钱买房子或买车，而你家里有没有足够的存款，你有什么办法解决么？（贷款买房） 2、案例：2012年10月，王先生为了改善目前的住房条件，决定购置一套房子．他经过一番调查，决定要在一套商品房和一套二手房之间进行选择，下面是他目前的经济状况及这两套房的具体情况： （1）家庭经济状况：家庭每月总收入为1.2万元，也就是每年收入14.4万，现有存款60万元，但是必须留5万元以备急用． （2）预选方案： （i）买商品房：一套面积为100m2的商品房，每平方米售价为1.2万元． （ii）买二手房：一套面积为120m2的二手房，售价为132万元，要求首付50万元以上． 王先生要买房还需要贷款，他向一家银行申请了购房贷款，银行的贷款评估员根据他的家庭经济状况和预选方案，向他提供了一下一些信息： 申请住房贷款，贷款期限为15年比较合适，购房的首期付款不得低于实际购房总额的30%，贷款额应该不高于实际购房总额的70%，还款方式可采用等额本金还款，如果按月还款，每月还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为： 本金部分=贷款本金÷贷款期月数 利息部分=（贷款本金－已归还贷款本金累计额）×月利率 贷款评估员还很快根据房贷计算器给出了两种方案在贷款期限内每月的还款额． 【百度应用】房贷计算器app.baidu/app/enter?appid=115844 同学们今后也有可能会面临这样的问题．现在，就请大家用学过的数列知识解释下房贷计算器是如何算出王先生的每月的还款额的？（让学生思考两分钟） 在解决这个问题之前，大家对这个案例中涉及的一些专有名词是否明白其含义呢？如果有名词不理解，请指出来，大家一起解决． （学生不清楚的专有名词可能为商品房，二手房，目前银行的贷款利率，等额本金还款法） （二）释疑解惑，解决问题 1、商品房名词解释 【百度百科】什么是商品房baike.baidu/view/30881.htm 2、二手房名词解释 【百度百科】什么是二手房baike.baidu/view/17368.htm 3、目前银行的贷款利率 【百度搜索】2012年7月6日人民币贷款利率表data.bank.hexun/ll/dkll.aspx 4、等额本金还款法 【百度百科】什么是等额本金还款法baike.baidu/view/1180522.htm 5、同学们在了解了等额本金还款法的含义后，会不会计算各个月份的还款额呢？ 如果王先生采用预选方案1，2012年10月15日开始向银行进行贷款，那么一个月后，也就是11月15日，王先生第一次需还款多少钱？还欠银行多少钱？（精确到小数点后两位） 解：王先生选用方案1的话，购房总额为120万，留足备用金5万元后，剩余的55万元全部用于支付首期付款，则需要向银行贷款65万元，贷款期限为15年，共15×12=180月，2012年7月6日后的贷款月利率为r=6.55%÷12≈0.54583333%， 由于还款方式为等额本金还款法，所以每个月等额归还本金为650000÷180≈3611.11元， 第一次还款额中归还利息为 650000×0.54583333%≈3547.92元 第一个月还款额为 3611.11＋3547.92=7159.03脸长的女生适合什么发型元 还欠银行650000－3611.11=646388.89元 6、那么第二个月的还款额是多少？第三个月呢？最后一个月呢？ 解：第二个月利息为 （650000－3611.11）×0.54583333%≈3528.21元， 第二个月还款额为 3528.21＋3611.11=7139.32元， 第三个月利息为 （650000－3611×2）×0.545833%≈3508.50元 第三个月还款额为 3508.5+3611.11=7119.61元 最后一个月利息为 （650000－3611×179）×0.54583333%≈19.71元 最后一个月还款额为 19.71＋3611.11=3630.82元 7、仔细观察每月的还款数额，它们具有怎样的特点？每月的利息呢？ （每月还款额构成了公差为－19.71的等差数列，同样每月的利息也构成了公差为－19.71的等差数列） 8、你能否根据这一特点快速求出15年的贷款期限中王先生总共要还款多少元？其中利息为多少元？（精确到元） 解：由于每月还款额构成等差数列，所以其和为 元 又因为每月还款利息也构成等差数列，所以其和为 元 （另外，计算还款利息总额时还可用下面的方法：971087－650000=321087元） （三）小组竞争，对比分析 1、大家已经用等额本金还款法计算了方案1的还款总额，下面请各个小组来比赛一下，看看谁能够用等额本金还款法最先算出方案2的还款总额． 解：留足备用金5万，首付55万，贷款77万，贷款期限为15年，每月等额归还本金为770000÷180≈4277.78元，第一个月利息为 770000×0.54583333%≈4202.92元， 第一个月还款额为 4202.92＋4277.78=8480.70元 第二个月利息为 （770000－4277.78）×0.54583333% ≈4179.57元 第二个月还款额为 4179.57＋4277.78＝8457.35元 第三个月利息为 （770000－4277.78×2）×0.54583333% ≈4156.22元 第三个月还款额为 4156.22+4277.78＝8434.00元 最后一个月利息为 （霸爱独宠兰陵王妃770000－4277.78×179）×0.54583333% ≈23.35元 最后一个月还款额为 23.35+4277.78＝4301.13元 显然每月的还款额构成了公差为－23.35的等差数列，所以其和为 元 每月的利息也构成了公差为－23.35的等差数列，所以其和为 元 2、下面提供一些网上有关房贷的相关资料，请各小组踊跃发言，根据这些资料和上述计算结果帮助王先生选择一下哪个才是最佳的购房方案？ （1）根据国内外经济学家提供的参考标准：家庭收入30%用于供楼、30%用于投资储蓄、20%用于子女教育、20%用于日常开销比较合适．贷款年限的选择要考虑买楼、结婚、子女高等教育． 【百度搜索】购房投资讲堂：三招教您搞定新利率下房贷难题 bj.house.sina/news/2006-01-05/0820113636.html （佛教名山2）目前贷款购房主要有以下几种：1、住房公积金贷款；2、个人住房商业性贷款；3、个人住房组合贷款． 【百度文库】买房贷款有哪几种方式 wenku.baidu/view/b0ad4683ec3a87c24028c4a3.html 【百度搜索】2012年7月6日公积金贷款利率表data.bank.hexun/ll/dkll.aspx （3）选择商品房还是二手房，还要考虑一些实际问题． 【百度搜索】买新房还是二手房？比较一下guid.fdc/rsfzl/310003.htm 学生选择方案1的理由有： （1）王先生家庭月总收入为1.2万，如果按照材料（1）月总收入的3岁宝宝教育30%即3600元用于还贷比较合适，如果把投资储蓄部分的30%也用于还贷，即总共可有7200元用于还贷，如果采用方案1，每个月都能按时还款，尽管没有多少钱用于投资，但是每一个月有足够现金用于日常家用和子女教育，不会影响其生活质量；但是如果采用方案2，则有55个月，也就是4年多的时间还贷额会超过7200元，会给王先生造成比较大的经济压力，严重影响其目前的生活质量． （2）若贷款15年，方案2比方案1要多支付利息380364－321087＝59277元． （3）二手房属于旧房，使用年限较短． （如果学生选择了方案2，并能够讲出一些恰当的理由，例如二手房属于现房，交足首付即可入住，而商品房一般都是期房，可能需要几年等待，应该肯定学生理由中的合理部分，但要强调一定要能按时还款是第一前提！） 可能有些学生会提出，如果王先生有公积金，可申请公积金贷款，因为公积金贷款年利率只有4.5%，这些建议也同样予以肯定，并可以用房贷计算器计算用公积金贷款的每月还款额，让学生体会下公积金贷款的好处． （四）归纳概括，提高认识 1、前面我们解决了采用等额本金还款法时的具体贷款问题，那么对于一般的贷款问题，你能不能总结出求每月还款额的公式呢？ 设贷款数为C0，贷款期限为n个月，贷款的月利率为r，第k个月的还款额为多少? 若采用等额本金还款法，月供计算公式为: 第k个月还款额＝ ＝. 2、商业贷款还有另外一种还款方式—等额本息还款，那什么是等额本息还款呢？ 【百度百科】什么是等额本息还款baike.baidu/view/1180521.htm 3、若设贷款数为C0，贷款期限为n个月，贷款的月利率为r，则每个月的还款额为多少?看看看哪个小组能够最先给出等额本息还款法的每月还款额公式． 解：设每月还款额为x，则第一个月还款x元后还欠银行 第二个月还款x元后还欠银行 第三个月还款x元后还欠银行 最好听的伤感歌曲 ………… 最后一个月还款x元后无欠款，所以 则 所以若采用等额本息还款法，月供计算公式为： 每月还款额x==. 将具体的数值代入，贷款期限同样为15年，即可快速算得： （1）方案1每月还贷额为5680.08元，累计还款总额为5680.08×180﹦1022414.40元，累计支付利息为1022414.40-650000=372414.40元 （2）方案2每月还贷额为6728.71元，累计还款总额为6728.71×180﹦1211167.80元，累计支付利息为12111167.8-650000=561167.80元 4、观察等额本息还款的每月欠款数式子结构，令你联想到哪个知识点？ 等额本息还款的每月欠款数中蕴含着等比数列求和问题，其结果需用等比数列前n项和公式求解． 5、请各个小组根据上述的计算结果，将等额本金还款法和等额本息还款法进行对比，谈谈这两种还款形式的优缺点． （1）等额本金还款法：优点是贷款期限相同的情况下，累计支付的利息少；缺点是在还款的前期每月还款额较大，可能会造成一定的经济压力，影响生活质量． （2）等额本息还款法：优点是每月的还款额固定，波动较小；缺点是贷款期限相同的情况下，累计支付的利息较多． 6、等额本金还款法和等额本息还款法除了上述区别外，还有其他区别吗？ 【百度搜索】等本还款和等额还款哪个更省钱（视频）you.joy/video/184744.htm 总结：等额本金还款法适合生活负担会越来越重（养老、看病、孩子读书等）或预计收入会逐步减少的人使用；等额本息还款法适用于现期收入少，但收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力. （五）课堂小结，布置作业 1.课堂小结： （1）等额本金还款法和等额本金还款法的每月还款额的计算原理及公式 （i）采用等额本金还款的每月还款额构成等差数列，其数学模型为等差数列的通项公式； （ii）采用等额本息还款的每月欠款额的求解需用到等比数列前n项和公式； （2）等额本金还款法和等额本金还款法的优缺点及适宜人 （3）数学来源于生活，多用数学的眼光看世界，巧用数学来省钱． 2.布置作业： （1）张先生为了购房，在2011年11月1日向某银行贷款20万元，且选择的是贷款期限为8年的公积金贷款，贷款年利率为4.23%. （i）若采用“等额”还款方式，从2011年12nvidia显卡控制面板月1日起还款，则每月应还款多少远？其中第一次和最后一次还款中，利息和本金各为多少元？（精确到0.01元） （ii）若采用“等本”还款方式，则第一次和最后一次还款各为多少元？ （2）利用百度去网上查有关房贷还款的其他方式． 3.板书设计： 购房中的数学 一、 等额本金还款 二、等额本息还款 月供计算公式 月供计算公式 方案1： 方案1： 方案2： 方案2： |
六、 教学反思 《购房中的数学》是一节应用性很强的课，需要学生借助数列的知识进行计算利息和还款额，并结合实际情况及房贷相关资料，最终解决问题．在设计这节课时，我认为学生面对这样一个比较大的实际问题，很可能感觉自己不知道从哪个方面入手，这时候要突破这一难点，必须要引导学生从最基本的问题入手，如提问“王先生第一次需还款多少钱？还欠银行多少钱？”，接着提问“那么第二个月的还款额是多少？第三个月呢？最后一个月呢？”，最后问“仔细观察每月的还款数额，它们具有怎样的特点？每月的利息呢？”让学生从中出计算的规律，并利用规律中所隐含的性质帮助解决问题，如此采用问题串式的提问设计，可以有效帮助学生跨越“最近发展区”，抵达成功的彼岸．在上过这节课之后，我感觉有以下两点需要改进： 1. 在让学生以小组的形式讨论“方案1和2，哪个才是最佳的购房方案？”时，感觉预留的时间过短，应适当地给予更多的时间让学生畅所欲言，充分表达自己的看法，多指出学生选择理由的闪光点，让学生尽可能多地参与到讨论的过程中来； 2.在提问“对于一般的贷款问题，你能不能总结出求每月还款额的公式呢？”时，可以留一些时间给学生思考，让学生自己引入贷款数，贷款期限，贷款的月利率的代数符号，将这个实际问题完全转化成数学问题，完成数学建模的初步过程． 《购房中的数学》这节课由于涉及到许多专业术语，其中一些是我们接触得比较少的，幸好现在有互联网，不懂的可以问百度，即刻解决问题，体现了信息时代带给我们的无穷便利． 《购房中的数学》这节课除了设计这个教案外，我还配套做了一个PPT课件，方便上课用，我也将其发到百度文库，予以参赛，望录用． |
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