第06讲 解三角形的实际应用(核心考点讲与练)
1．正弦定理应用范围：
①已知两角和任一边，求其他两边及一角．
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角
一解 两解 一解
鬼节真的不能出门吗(2)A为锐角或钝角:当时有一解.
2．余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
3. 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.
考点一：距离、角度求解问题
【例1】（2020·上海高一课时练习）如图所示，是一山坡，它与地面所成的角为，为山坡上一点，它和点的距离是，从和测得平地上点的俯角分别为和，求点和点之间的距离.
【答案】
【分析】在中，计算出和，利用正弦定理求得，在中，计算出送礼怎么说和，利用正弦定理可求得.
【详解】在中，，，，由正弦定理，得，黄毅清.
在中，，.
由正弦定理，得感恩教师节手抄报内容，.
，
.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，解题时要从已知元素较多的三角形出发，利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
【例2】．（2020·上海市沪新中学高一期中）如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，求山高.
【答案】
【分析】先在直角三角形中求出自动回复语，然后用正弦定理求出，最后再在直角三角形中求得．
【详解】解：在中，，
.
在中，，.
由正弦定理得即，.
在中，，故山高是.
【点睛】本题考查解三角形的应用：测量高度，考查正弦定理．
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
【例3】（2021·上海市奉贤中学高一期中）★★☆☆☆
甲船在距离港口海里并在南偏西怎么写方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为海里.乙船的速度为每小时海里，经过分钟航行到处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？
【答案】甲乙两船相距海里，甲在乙的北偏西方向.
【详解】根据题意，作出如图所示的示意图，
其中
作中，由正弦定理，得，
从而
由，知为锐角，
故
在中，由余弦定理，
有
（海里）
由余弦定理，得
所以
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