利用排除法巧解考研数学中的选择题
利用排除法巧解考研数学中的选择题
高等数学是理工类专业的基础课.在研究生入学考试中，高等数学不仅是报考理工类专业的考生的必考科目，也是报考经济学、农学、医学等专业的考生的必考科目，所考查的内容包括微积分、线性代数、空间解析几何(数学二、数学三不要求)、概率论与数理统计(数学二不要求)，所考查的题型有选择题、填空题和解答题(包括计算题和证明题)三种，其中选择题约占全卷总分的21%，均为单项选择题.在选择题中，有些问题若直接求解，则较为困难或运算过程较为繁琐，这时若巧用排除法[1-6]，则可以方便快捷地选出正确的选项.
本文将以历年考题为例来分析说明在解答考研数学中的选择题时，若恰当运用排除法，则可以起到事半功倍的效果.
1.函数的性态
例1 以下四个命题中正确的是( ).
A.若f′(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界
B.若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界
C.若f′(x)在(0,1)内有界，则f南京大屠杀是哪年哪月哪日(x)在(0,1)内有界
D.若f(描写山的四字词语x)在(0,1)内有界，则f′(x)在(0,1)内有界
解 令，则，显然，f′(x)和f(x)都在(0,1)内连续，但f(x)在(0,1)内无界，则A,B都不正确.
令，显然f(x)在(0,1)内有界，但在(0,1)内无界，则D不正确.
故应选C.
2.数列的极限
例2 设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且,则必有( ).
A.an<bn对任意n成立 B.bn<cn对任意n成立
C.极限不存在 D. 极限不存在
解 由假设条件可知，但这只能得到存在N>0,当n>N后有an<bn<cn,而不能得到对任意的n有an<bn<cn,从而A,B均不正确.
若取,显然,
而,从而C不正确，故应选D.
例3 设数列{xn}与{yn}满足,则下列断言正确的是( ).
A.若xn发散，则yn必发散
B. 若xn无界，则yn必有界
C.若xn有界，则yn必为无穷小
D.若xn为无穷小，则yn必为无穷小
解 若取,显然(A)不正确.
若取
不要在我寂寞说爱我则,且xn无界，但yn也无界，则B不正确.
若取,显然C不正确.
故应选D.
3.函数的极限
例4 设对任意的x总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且则( ).
A.存在且等于零 B.存在但不一定为零
C.一定不存在 D.不一定存在
解 若令,
显然φ(x)≤f(x)≤g(x),且,此时.
则A和C不正确.
若令,
则φ(x)≤f(x)≤g(x),且,但(不存在).
从而B不正确，故D正确.
例5 设函数f(x)在(-∞,+∞)单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( ).
A.若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛
B.若{xn}单调，则{f(xn)}收敛
C.若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛
D.若{f(xn)}单调，则{xn}收敛
解 令.
显然f(x)在(-∞,+∞)上单调有界，收敛，但
不存在，则A不正确.
令f(x)=arctanx,xn=n.
收敛，且f(xn)=arctann单调，但,则C,D均不正确，故应选B.
例6 若,则等于( ).
A.0 B.6 C.36 D.∞
lol自动关闭解 令xf(x)+sin6x=0,显然有,此时，,
,
显然A,B,D均不正确，故应选C.
4.一元函数的连续性与可导性
例7 设f(x)和φ(x)在(-∞,+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0,φ(x)有间断点，则( ).
A.φ[f(x)]必有间断点 B.[φ(x)]2必有间断点
C.f[φ(x)]必有间断点 D.必有间断点
解 设显然f(x),φ(x)符合题设条件，而
φ[洛杉矶之战影评f(x)]≡1,[φ(x)]2≡1,f[φ(x)]≡1都处处连续，则排除(A)(B)(C), 故应选(D).
例8 设f(0)=0,则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ).
A.存在
B.存在
C.存在
D.上海的景点存在
解
由于
,
由于1-cosh>0,则A中极限存在只能推得f(x)在x=0处的右导数存在，所以A不正确.

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