2022年春北师大版九年级数学中考复习《图形的相似解答压轴题》专题训练（附答案）1．【教材呈现】
（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）
①求证：AE2＝DE•BE；
②求BE•CD的值；
【拓展探究】
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且AD＝AE，请直接写出的值．
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，P是线段AC上一动点，CQ⊥BP于点Q，D是线段BQ上一点，E是射线CQ上一点，且满足，连接AE，DE．
（1）如图1，当AB＝AC时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当AC＝2AB＝6时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若，AE⊥CQ，直接写出A，D两点之间的距离．
手工礼品3．已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE ＝90°；
幼儿园开学祝福语（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA；
（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，试判断是否为定值，并证明．
4．如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，点G、F分别是ED、BC的中点，连接CD、BE、GF．
（1）求证：∠ACD＝∠ABE；
（2）求的值；
（3）若四边形BEDC的面积为42，周长为24，GF＝5，则AB＝．
二手房网签5．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AC＝6m，点P由A点出发以1cm/s的速度向终点C匀速移动，同时点Q由点C出发以2cm/s的速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）填空：在秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的；
（2）经过几秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？
（3）如图②，D为AB上一点，且AD＝AC，运动时间t为多少时，CD⊥PQ？
6．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．
（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；
（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；
（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．
7．问题提出：
如图①所示，在矩形AOCB和矩形ODEF中，＝＝k，点A，O，D不在同一直线上，连接AD，CF．HO是△AOD的中线，那么HO，CF之间存在怎样的关系？
问题探究：金华百姓
（1）先将问题特殊化，如图②所示，当k＝1且∠AOD＝90°时，HO，CF的数量关系是，位置关系是．
问题拓展：
（2）再探究一般情形如图③所示，当k＝1，∠AOD≠90°时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题解决：
（3）回归图①所示，探究HO，CF之间存在怎样的关系（数量关系用k表示）？
怒的拼音8．如图1，AD、BD分别是△ABC内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠C＝2∠E；
拍一拍（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝1：2，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．
9．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
10．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．
11．△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E，F分别在BA和AC的延长线上，BC的延长线交EF于点G，AF与DE交于点H．（1）如图1，证明：FC•FH＝FG•FE；
（2）如图2，若AD＝AE，求tan∠AEF的值；
（3）如图3，若点H是DE的中点，求的值．
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