垂美四边形模型
垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。
垂美四边形的性质：①S 垂美四边形ABCD =12
AC •BD ②AB 2+DC 2=AD 2+BC 2
证明：
1)S 垂美四边形ABCD =S △ABC +S △ADC
=12AC •BP +12AC •DP =12AC •(BP +DP )=12
AC •BD 结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。
2)∵AB 2=AP 2+BP 2
CD 2=PD 2+PC 2∴AB 2+CD 2=AP 2+BP 2+PD 2+PC 2
∵AD 2=AP 2+DP 2BC 2=BP 2+PC 2∴AD 2+BC 2=AP 2+BP 2+PD 2+PC 2
∴AB 2+DC 2=AD 2+BC 2
【变形一】如图，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上有一点，连接AP 、BP ，
则DP 、BP 、AP 、CP 之间的关系：DP 2+BP 2=AP 2+PC 2
证明：∵DP 2+BP 2=DP 2+BC 2+PC 2
PC 2+AP 2=PC 2+DP 2+AD 2
而AD =BC
喜剧电影大全国语版∴DP 2+BP 2=AP 2+PC 2
【变形二】如图，在矩形ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接AP 、BP ，CP ，DP
则AP 、BP ，CP ，DP 之间的关系：AP 2+PC 2=DP 2+BP 2
证明(思路)：
方法一：
过点P 分别作PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PG ⊥CD 、PH ⊥AD 垂足分别为点E 、点F 、
点G 、点H
由已知条件可得HF ⊥EG ∴HG 2+EF 2=EH 2+FG 2(证明过程略)
而AP =EH 、BP =EF 、CP =FG 、DP =GH
∴AP 2+PC 2=DP 2+BP 2方法二：
将△APD 平移至如图所示位置，点A 与点B 重合，点D 与点C 重合
由平移的性质可得DP =CM ，AP =BM ，DP ∥CM ，
∴四边形DPMC 为平行四边形
∴CD ∥PM 则∠1=∠2 而∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90° 则∠CEP =90°∴BC ⊥PM
∴BM 2+PC 2=CM 2+BP 2(证明过程略)
∴AP 2+PC 2=DP 2+BP 2
【培优过关练】
1.(2023秋·河北石家庄·八年级统考期末)如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，若AD
=2，AB=4，BC=5则CD的长为( )
A.2.5
B.3
C.4
D.13
【答案】D
【分析】在Rt△AOD中，AD2-OA2=OD2，在Rt△BOC中，BC2-OB2=OC2，再根据CD2=OD2
+OC2即可得出答案．
【详解】解：在Rt△AOD中，AD2-OA2=OD2，
在Rt△BOC中，BC2-OB2=OC2，
∴CD2=OD2+OC2=AD2-OA2+2BC2-OB2=AD2+2BC2-OB2+OA2
=4+25-16=13，
∴CD=13，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．
2.(2022秋·四川绵阳·九年级统考期中)如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则
四边形ABCD的最大面积是()
A.64
B.32
C.16
D.以上都不对
【答案】B
【分析】设AC=x，将四边形的面积转化为二次函数，求最值即可．
字谜大全一年级【详解】解：∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=1
BD⋅AC；
2
设AC =x ，
∵AC +BD =16，
∴BD =16-x ，
∴四边形ABCD 的面积=12x 16-x =-12
x -8 2+32，当x =8时，四边形的面积最大：32，
∴四边形ABCD 的最大面积是：32；
故选B ．
【点睛】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．
3.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC 、BD 是方程x 2-16x +60=0的两个解，则四边形ABCD 的面积是()
A.60
B.30
C.16
D.32
【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理快速求解即可．
【详解】由题意可知
四边形ABCD 的面积S =12
AC ×BD ∵AC 、BD 是方程x 2-16x +60=0的两个解，
∴AC ×BD =x 1∙x 2=
601=60，四边形ABCD 的面积S =12
有什么动漫好看>寻梦追忆×60=30，故答案为：B ．
【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成绩计算面积是解题关键．
4.(2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC +BD =16，则四边形ABCD 的面积最大值是()
A.16
B.32
C.36
D.64
【答案】B 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．【详解】解：设AC =x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD =16-x ，
则：S =12AC ⋅BD =12x (16-x )=-12
(x -8)2+32当x =8时，S 最大为：32﹔
故选：B ．
【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．
5.(2023春·八年级课时练习)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，点E 为对角线BD 上任意一点，连接AE 、CE ．若AB =5，BC =3，则AE 2-CE 2等于
()
A.7
B.9
C.16
D.25
【答案】C 【分析】连接AC ，与BD 交于点O ，根据题意可得AC ⊥BD ，在在Rt △AOE 与Rt △COE 中，利用勾股定理可得AE 2-CE 2=AO 2-CO 2，在在Rt △AOB 与Rt △COB 中，继续利用勾股定理可得AO 2-CO 2=AB 2-BC 2，求解即可得．
【详解】解：如图所示：连接AC ，与BD 交于点O ，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴AC ⊥BD ，
在Rt △AOE 中，AE 2=AO 2+OE 2，
在Rt △COE 中，CE 2=CO 2+OE 2，
∴AE 2-CE 2=AO 2-CO 2，
在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2，
送给老板的事业祝福语在Rt△COB中，CO2=BC2-OB2，
∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，
∴AE2-CE2=16，
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
6.(2019·浙江杭州·模拟预测)如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE，则下列结论
正确的是()
A.AE+DE=BE+CE
B.AE+CE=BE+DE
C.AE2+CE2=BE2+DE2
D.AE2+DE2=BE2+CE2
【答案】C
【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：AE2+CE2=BE2+DE2．
【详解】
如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．
小学二年级评语∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
又∵EF⊥BC
∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形
∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD
∵AE2=AM2+ME2，DE2=MD2+ME2，BE2=EF2+BF2，CE2=EF2+CF2
∴AE2+CE2=BE2+DE2
故：选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．
7.(2022秋·上海·九年级校考期中)如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直于点O，CD=
BD=5，BC=2，∠BAC=∠BDC，那么AB=．
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