西藏自治区林芝市第一中学2024届高三下学期第一次月考（4月）数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin cos ()20
x x x
f x x =+
在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
2．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．
怎样腌制糖醋蒜的是（ ）
A ．点F 的轨迹是一条线段
B ．1A F 与BE 是异面直线
怎么查看电脑显卡配置C ．1A F 与1
D
E 不可能平行
D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值
3．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩
，则函数()12x
f x =⊕的图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311
,
,2a a a 成等差数列，则3445北向资金是什么意思
a a a a ++的值为( )小米开发版
A 15
- B 51
+ C 51
- D 51+51
- 5．复数2(1)4
1
i z i -+=+的虚部为（ ）
A ．—1
B ．—3
C ．1
D ．2
6．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知函数()2
2
cos sin 4f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则()f x 的最小值为( ) A ．21+
B ．
12
C ．21
D ．21-
8．已知3
1(2)(1)mx x
--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．-3
D ．3
9．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）
A ．3log 4
B ．3log 41+
C ．
43
D ．3log 41-
10．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）
A ．221155x y -=
B ．22
1515x y -=
C ．22
1312y x -=
D ．22
1217
y x -=
11．已知集合(){}
lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则A B =（ ） A ．{}
2x x >-
B ．{}
22x x -<<
C ．{}
22x x -≤<
D ．{}
2x x <
12．若集合{}
(2)0A x x x =->，{}
10B x x =->，则A B =
A ．{}10x x x ><；或
B ．{}
12x x <<
C ．{|2}x x >
D ．{
}
1x x >
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的各项系数之和为_____，含2x 项的系数为_____．
14．在ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________． 15．某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角进行分组游戏，角按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.如果2人一组，则必须角相同；如果3人一组，则3人角相同或者3人为级别连续的3个不同角.已知这13名学生扮演的角有3名士兵和3名司令，其余角各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角的种数为________. 16．已知等比数列
的前项和为，若
，则的值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)(a≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围． 18．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP 总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t ；y 表示全国GDP 总量，表中
()ln 1,2,3,4,5i i z y i ==，5
1
15i i z z ==∑.
t
y
z
()
5
2
1
i
i t
t
=-∑
()()5
1
i
i
i t
t
y y =--∑ ()()5
1
i
i
三本排名i t t z z =--∑
3
26.474 1.903 10
209.76 14.05
（1）根据数据及统计图表，判断ˆy
bt a =+与ˆdt
y ce =（其中e 2.718=为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国
GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程. （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量.
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 参考数据：
n
4 5 6 7 8 n e 的近似值
55
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1097
2981
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，AC AB ⊥，2A A AB AC '===，D ，E 分别为AB ，BC 的中点.
（1）证明：平面B DE '⊥平面A ABB ''； （2）求点C '到平面B DE '的距离.
20．（12分）如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，
30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD
于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -
（1）求证：;BD AP ⊥
（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的余弦值为5
5
，求λ的值；
（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.
21．（12分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足
cos (1cos )a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）
A ．()
828,8-
B ．(0,8)
C ．838,833⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
D ．838,83⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
22．（10分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．
（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21
21
，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．
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