2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
总分值150分。考试用时120分钟。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符
合题目要求的。
1．集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，那么
A ．{|0}A
B x x =< B ．A B =R
C ．{|1}A B x x =>
D ．A B =∅
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑
局部和白局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，
那么此点取自黑局部的概率是
A ．14
B ．8π
C ．12
D ．4
π 3．设有下面四个命题
1p ：假设复数z 满足1z
∈R ，那么z ∈R ； 2p ：假设复数z 满足2z ∈R ，那么z ∈R ； 3p ：假设复数12,z z 满足12z z ∈R ，那么12z z =；
4p ：假设复数z ∈R ，那么z ∈R .
其中的真命题为
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．假设4524a a +=，648S =，那么{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．假设(11)f =-，那么满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x
++展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35 7．某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组
成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有假设干
个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
8．右面程序框图是为了求出满足321000n n
->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．1000A >和1n n =+ B ．1000A >和2n n =+
C ．1000A ≤和1n n =+
D ．1000A ≤和2n n =+
9．曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+
，那么下面结论正确的选项是
A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线2C 10．F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，
直线2l 与C 交于D 、E 两点，那么|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10 11．设xyz 为正数，且235x y z ==，那么
A ．235x y z <<
B ．523z x y <<中秋遇上教师节祝福语
C ．352y z x <<
D ．325y x z <<
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出
了“解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，
1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项02，接下来的两项是01
2,2，再接下来的三项是012
2,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13．向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，那么| a +2 b |= 14．设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，那么32z x y =-的最小值为
15．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。假设60MAN ∠=，那么C 的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为
教师节送老师什么礼物好呢圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积〔单位：cm 3
〕的最大值为_______。
三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
〔一〕必考题：共60分。
17．〔12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为2
3sin a A
〔1〕求sin sin B C ;
〔2〕假设6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.
18.〔12分〕
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.
〔1〕证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
〔2〕假设PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.
19．〔12分〕
为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每天从该消费线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm 〕．根据长期消费经历，可以认为这条消费线正常状态下消费的零件的尺寸服从正态分布2
(,)N μσ．
〔1〕假设消费状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；
〔2〕一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条消费线在这一天的消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程进展检查．
林芝旅游景点〔ⅰ〕试说明上述监控消费过程方法的合理性；
〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x金融管理专业
为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的消费过程进展检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ〔准确到〕．
附：假设随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ，那么(33)0.997 4P Z μσ
μσ-<<+=，
160.997 40.959 2=0.09≈．
20.〔12分〕
椭圆C ：22
22=1x y a b
+〔a >b >0〕，四点P 1〔1,1〕，P 2〔0,1〕，P 3〔–1〕，P 4〔1〕中恰有三点在椭圆C 上.
〔1〕求C 的方程；
〔2〕设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
21.〔12分〕
函数2()(2)x x f x ae a e x =+--
〔1〕讨论()f x 的单调性；
〔2〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计分。
人民检察院是我国的22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
〔θ为参数〕，直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）. 〔1〕假设a =−1，求C 与l 的交点坐标；
〔2〕假设C 上的点到l 的间隔 a .
23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕
函数2()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++-
〔1〕当1a =时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；
五一手抄报内容写什么〔2〕假设不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
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