习题与解答 第二章 静电场
2-1已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度0sin l φρρ=，0φπ≤≤，试求圆心处的电场强度。
解：建立直角坐标系，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图21-所示。那么点电荷d l l ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量
x E 和y E 。由
电荷分布以y 轴为对称，左右两部分产生的x E 分量相互
抵消。因此，仅需考虑电场强度 的y E 分量，即
2
0d d d sin 4l y l
E E a
ρφπε==
考虑到0d d ,sin l l a φφρρ==，代入上式求的合 图21-
成电场强度为
2
000
00d sin 48y y
E e e a a π
ρρφφπεε=-=-⎰
2-2 已知均匀分布的带电圆盘半径为a ，面电荷密度为s ρ，位于0z =平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度E 。
解: 如习题图2-2所示，在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的圆环，该圆环具有的电荷量为d 2d s q r r πρ=。
由于对称性，该圆环电荷在z 轴上
任一点P 产生的电厂强度仅有z 分量。所以该圆环电荷 在P 产生的电场强度z 分量为
3/2
2
20d d 2()
s z zr r E r z ρε=
+
图22
-
y
那么，整个圆盘电荷在P 产生的电场强度为
3/2222000d (22()a s s z z z
zr r z z
E e e z r z ρρεε==-++⎰
2-3三根长度均为L ，均匀线电荷密度分别为123,,l l l ρρρ的线电荷构成等边三角形。设12322l l l ρρρ==，计算三角形中心处的电场强度。
医疗保险卡余额查询、 解：如图2-3所示，设等边三角形位于yOz 平面，其中心点为
P ，中心点到各边之间的距离为
1
tan 3026
l b =
= 线电荷密度为1l ρ的线段在P 点产生的电场1E ，因对称性只有y 分量，大小为
1
110(cos cos )(3015042
l y E E b ρπε==-=
同理，线电荷密度为2l ρ，3l ρ的线段产生 的电场2,3E E ，大小为
21
23003324l l E E l l
ρρπεπε==
= 由图可见，2E 与3E 叠加后也只有y 分量， 图2-3
11
230033cos 6048l l y y E E l l
ρρπεπε==
=- 所以正三角形中心点处的电场为
1111
123000033332884l l l l y y y y E E E E l l l l
ρρρρπεπεπεπε=++=
--=
2-4有两根长度均为d 相互平行的均匀带电直线，分别带等量异号的电荷q ±，它们相隔距离为d ，试求此带电系统中心处的电场。
解：如图2-4所示，由于对称性，两根线上对称位置的两对线元，在中心O 处产生的电场， 其x 分量相抵消为零，只有y 分量。
y
下面一根线在O 点产生的电场，依据库伦
定律12
0sin d d 4l y x
E R
θρπε=可得 1120(cos cos )4l
y E r
ρθθπε=
- 而12/,,,/2,45135l q d r d θθρ====
所以
12
00/22)4/22y q d E d d ππεε=
=
对学校的建议上面一根线在O 点处产生的电场与上式相同。
故两根线在O 点产生的电场为 图2-4
2
0y E d πε=
2-5两个无限长的r a =和r b =（b a >）的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度1σ和2σ。①计算各处的E ；②欲使r b >处0E =，则1σ和2σ应具有什么关系？ 解：①利用高斯定理
求解
1:0r a E <=
1
202:2al a r b rlE πσπε<<=
则1
20
r a E a r σε=
123022:2al bl r b rlE πσπσπε+>= 则1230
r a b
E a r σσε+=
②令1230
0a b
E r σσε+==
得 12b
周公解梦 地震a σσ=-
2-6已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为b 。若填充介质的相对介电常数2r ε=。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内、外导体半径之比。 解：已知若同轴线单位长度内的电荷量为1q ，则同轴线内电场强度12r q E e r
πε=
。为了使
dx
+q
d
同轴线获得最高耐压，应在保持内，外导体之间的电位差U 不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面r a =处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为
11122ln()ln()q U q C b b U a a
πεπε=
八月再见=⇒=
则同轴线内导体表面r a =处电场强度为
()()ln()ln()b U U
a E a
b b b a a a
==
令b 不变，以比值b a 为变量，对上式求极限，获知当比值b
e a
=时，()E a 取得最小值，即
同轴线获得最高耐压。
2-7一同心球电容器由半径为a 的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为b ，球与壳间的一半（沿径向分开）充满介电系数为1ε的均匀介质，另一半充满介电系数为2ε的均匀介质，试求该球形电容器的电容。 解：在1ε与2ε两种介质的分界面上有
12t t r E E E ==
由于场分布具有对称性，可利用高斯定律得
221222r r E q E r r ππεε=+
2122()
r q E r πεε=
+
内外导体间的电压为
2
1212d 11
d ()2()2()b b
r a
a
q r q U E r a b
r ππεεεε∙===-++⎰⎰
故电容为
122()q ab C U b a πεε+=
=-
2-8已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε，若在球心放置一个电荷
量为q 的点电荷，试求：①各区域中的电场强度；②介质壳内、外表面上的束缚电荷。 解：先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理
在0r a <≤区域中，电场强度为
2
全国十大内衣品牌04r D
q E e r
επε=
=
在a r b <≤区域内，电场强度为
2
4r D
q E e r ε
πε=
=
在r b >区域内，电场强度为
2
04r D
q E e r
επε=
=
再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
由于0()P E εε=-，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
002
2
()
(1)44n r s q q P P e e a
a εερεεπεπ∙∙'==-=--=--
外表面上束缚电荷面密度为
002
2
()
(1)44n r s q q P P e e b
b εερεεπεπ∙∙===-=-
2-9 半径为a 的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜。球内充满总电荷量为Q 的电荷，球壳上又充了电荷量Q 。已知内部的电场为4
(/)r E r a e =，设球内介质为真空。试求： ① 球内电荷分布；②球壳的外表面电荷分布；③球壳的电位；④球心的电位。 解：①利用高斯定律的微分形式可求出球内电荷分布，即电荷体密度。
430220004422116()()r r r E r E r r r
a a r r ερεεε∙∙∂∂⎡⎤⎡⎤
=∇===⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦
② 由上面已求出的球内电荷分布，可以得到球内总电荷量Q 为
360022
04
4
0624d 4d 46a
a
V
r r Q V r a r a
a
πεερππε∙∙====⎰⎰
故得球外表面等效电荷面密度为
2
0022
28244s Q a a a
περεππ=== ③球壳电位αϕ。
2
0200024'2422a a
入伏是哪一天开始2022Q
Q
a E dr dr a a a a απεϕπππεεε∞∞
∙=====⎰⎰
④球心电位0ϕ。
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