赌博中的数学
赌博中的数学
汪勇
（经济学院  经济学  0913114）
摘 要：赌博（gambling）自古以来就一直是我们生活中的一个重要部分，各种形式的赌博存在于我们的生活中，但是我们也听过十赌九骗、十赌九输，那么赌博究竟有没有什么机制与规律呢？本文通过概率论的一些知识来揭示赌博中的规律，通过揭示其运行机制，让我们感受数学的美。
关键字：赌博；概率论
1．引言
概率论是一门研究随机现象的规律的数学分支。其起源于16世纪，意大利学者吉诺拉莫·卡尔达诺（1501-1576）开始研究骰子等赌博中的一些问题，但真正刺激概率论发展的是来自17世纪的赌博者问题。数学家费马向法国数学家帕斯卡提出下列问题：现有两个赌徒相约赌若
干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A先赢a局（a<s），而赌徒B赢b局（b<s），赌博中止，那赌博怎么分才公平？随后他们二人从不同的方法出发，在1654年7月29号得出了这一问题的答案，三年后，荷兰数学家惠更斯（1629-1695）亦用自己的方法得出了答案，并写成《论赌博中的计算》一书，这便是概率论最早的论著，在他们三人的解法中都包含了数学期望（mathematical expectation）这一概念，这也奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学的一个分支的另一个奠基人是瑞士数学家雅各·伯努利（1654-1705）。他的主要贡献是建立了概率论的第一个极限定理，即伯努利大数定律：在多次重复试验中，概率有趋于稳定的趋势。1713年这个定理发表在他的遗著《猜度术》中。1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》当中包含了著名的棣莫弗——拉普拉斯定理，这是概率论中第二个重要的极限定理的雏形。接着拉普拉斯在其1812年出版的著作《概率的分析理论》中，首先明确的给出了这一定理的古典定义。另外，他还和其他数学家共同建立了关于最小二乘法和正态分布的理论。另一位在概率论发展史上的代表人物是泊松，他推广了伯努利大数定律，并提出了一种新的分布——泊松分布。概率论在这之后一直集中于研究推广伯努利大数定律和研究中心极限定理。
1901年，中心极限定理被严格证明，这使得数学家们能够很好的解释为什么现实中很多分布都近似于正态分布的问题。20世纪30年代，数学家们更多的研究随机过程，著名的马尔科夫过程在1931年才被重视。在概率论的发展过程中，苏联数学家柯尔莫格洛夫做出了杰出的贡献。到了近代，出现了理论概论与应用概论的分支，概率论已经发展成为数学的一个庞大分支。
从概率论的起源和发展看，概论都与赌博问题息息相关，可以说对于概率论的研究正是起源于赌博问题，同时赌博问题中也有很多概率问题值得我们研究。本文将要利用概率论的知识研究赌博中包含的一些问题，揭示赌博的内在机制。
2.一个悖论——加倍赌注赌博
赌博问题中有这样一个有意思的问题，就是加倍赌注赌博问题（double-up gambling），即如果你想赢得1000元，你第一局下1000元，如果赢了，赌局结束，你得到了想要的1000元，如果输了，第二句就下2000元赌注，依次类推，每次输了下一局就下以前输掉的赌注加上1000元地两倍，我们假设输赢的概率是相等的，都是1/2，则由表1我们可以看到这个赌局的结果。我们看到初始赌注是1000元，但是到第11局的时候已经是124000，而赌博者
赢得他想要的1000元的概率是0.000488，这几乎已经是一个不可能事件；当进行到31局地时候，所需的赌注是1000*230这相当于一万亿，当然只要我们继续加倍赌注我们就能赢得我们想要的1000元，但是我们的资本不是无穷的，估计我们会在赢得1000元钱输掉所用的赌本。
表1 加倍赌注赌博问题的结果表格
黄晓明和秦岚哪种中奖率高
局数
赌注
本局进行前的总损失
赌局在本局结束的收益
赌局结束的概率
近似概率
1
1000
0
1000
1/2
0.5
2
2000
1000
小学校园文化
1000
（1/2）2
0.2500
3
4000
3000
1000
（1/2）3
0.1250
4
8000
7000
1000
（1/2）4
0.0625
5
16000
15000
1000
（1/2）5
0.0313
6
32000
31000
1000
（1/2）6
0.0156关于爱国的手抄报
7
64000
63000
1000
（1/2）7
0.0078
8
128000
127000
1000
（1/2）8
0.0039
9
256000
255000
1000
（1/2）9
0.0020
10
512000
511000
1000
（1/2）10
0.00098
11
124000
123000
1000
（1/2）11
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0.000488瓷砖胶
31
1000*230
1000*230  -1000
1000
（1/2）31
4.66*10-10
n
1000*2n-1
1000*2n-1-1000
1000
（1/2）n
3.主要结论与引理
3.1主要前提假设
（1）每一次单独的赌局都有负的期望值，使得长期赌局的累积期望一定为负。
（2）本金是有限的，即不存在加倍赌注赌博的情况出现。
（3）各个单独的赌局互相是不影响的，这是强调赌局的独立性。
（4）最小赌注限制，即每局赌局有最小允许的下注额，小于这个下注额的不能参加赌局。
3.2主要结论
（1）长期赌博的结果注定是输。
（2）无论赌博者有多少钱，只要赌博者不断继续赌博，他的本金总会输光。
3.3定理
（1）定理1：一个赌局出现的结果是有限的，x1,x2,x3……，xn,其每个结果对应的概率为f(xi)(i=1,2,3……,n),则数学期望为E=,即为赌局的期望结果。
（2）定理2：最佳投注原理，即凯利规则（Kelly System），假设一个赌局获胜的概率是P，输的概率是1-P，M表示每局开始前你拥有的的钱，则最有投注原理是M（（P-(1-P)）.
4.实例分析
4.1骰子（Dice）问题（以三个骰子赌博为例）
规则说明：一般采用三枚骰子和一个骰盅，分为开大开小，规定4点到10点为小，11点到17点为大。若押小开小，则押小者胜，可获一倍彩金，押大者输，赌注归庄家所有；若押大开大，依此类推。若庄家摇出三个骰子点数相同，则不论下注者押大押小都输。
庄家摇出三个骰子点数相同的概率：各点数组合共有6*6*6=216种，点数相同共有6种情况，所以概率为P=
开小的概率，逐个分析
4点的组合有（1,1,2），共有3种情况，所以概率为P=；
5点的组合有（1,1,3），（1,2,2），共有6种情况，其概率为P=；
6点的组合有（1,1,4），（1,2,3），共有9种情况，其概率为P=；
7点的组合有（1,1,5），（1,2,4），（1,3,3），（2,2,3），共有15种情况，其概率为P=；
8点的组合有（1,1,6），（1,2,5），（1,3,4），（2,2,4），（2,3,3），共有21种情况，其概率为P=；
9点的组合有（1,2,6），（1,3,5），（1,4,4），（2,2,5），（2,3,4），共有24种情况，其概率为P=；
10点的组合有（1,3,6），（1,4,5），（2,2,6），（2,3,5），（2,4,4），（3,3,4），共有27种情况，其概率为P=；
所以开小的概率为P=0.486；由此可知开大的概率为P=1-0.486-0.028=0.486。
实例：如果有一玩家，下注100元，规定100元只下一种情况，则其收益期望E=（200*0.486+0*0.514）-100=-2.8，由此可见其期望为负。
现在假设玩家可以随意决定下注多少且下注额可无限分割，但是最小下注额为1元，那么根据凯利规则可知，第一局下注2.8元（100*（0.514-0.486）），如果赢了，现在有102.8元，继续下注102.8*0.028=2.8784元；如果输了，现在有97.2元，继续下注2.7216元。采用这一下注规则，第一，我们可以尽量降低全部输光的可能性；第二，这种方法能获得最高的期望收益；第三，利用这种方法能最快达成目标赢钱数。
4.2赌（Roulette）问题
规则说明：游戏由一个，一个象牙制小球以及一张赌桌构成。以转轴为中心转动，并且分为38个细长沟道（），36个沟道分别编号1-36，一半红一半黑，另外两个绿沟道分别标记0,00。
玩家按照上的赌区下注，一旦赌桌上的赌注超过最小赌注，小球就会被掷进。小
球进入任一轨道并不再滚动，则赌局的输赢就确定了。无论哪一局赌局，玩家所下的赌注都不能超过最大赌注。
有38个号码，如果你赌一个号码，你赢得的几率是37:1，如果你下注1元并且赢了，那么应该赔你37元，这样就是公平的赌局；但是实际上，只赔你35元，另外2元则留在的口袋里，这就是优势，即2/38=5.26%。
所以我们看到看似公平的赌局，在人为因素的介入下，往往获胜的是庄家，而玩家是真正的输家。
4.3玩转21点（Blackjack）
规则说明：21点一般用到1-8副牌，庄家给每个玩家发两张牌，牌面朝下；给自己发两张牌，一张牌面朝上(叫明牌)，一张牌面朝下(叫暗牌)。大家手中扑克点数的计算是：K、Q、J 和 10 牌都算作 10 点。 A 牌既可算作1 点也可算作11 点，由玩家自己决定。其余所有2 至9 牌均按其原面值计算。首先玩家开始要牌，如果玩家拿到的前两张牌是一张 A 和一张10点牌，就拥有黑杰克 (Blackjack)；此时，如果庄家没有黑杰克，玩家就能赢得2倍
的赌金（1赔2）。没有黑杰克的玩家可以继续拿牌，可以随意要多少张。目的是尽量往21点靠，靠得越近越好，最好就是21点了。在要牌的过程中，如果所有的牌加起来超过21点，玩家就输了——叫爆掉(Bust)，游戏也就结束了。假如玩家没爆掉，又决定不再要牌了，这时庄家就把他的那张暗牌打开来。庄家根据自己的情况拿牌，一般到17点或17点以上不再拿牌，但也有可能15到16点甚至12到13点就不再拿牌或者18到19点继续拿牌。假如庄家爆掉了，那他就输了。假如他没爆掉，那么你就与他比点数大小，大为赢。一样的点数为平手，你可以把你的赌注拿回来。如果拿牌拿到手中有5张牌，并且总数不到21点，那这种情况能压住一切牌型（当然5张加起来一共21点更好），但某些玩法中不支持此规则。
21点看来是一个比较公平的游戏，但是如果掌握一定的算牌技巧，玩家可以提高胜率，从而来是自己获得优势。这里提供一种算牌法，即高低法（High-low）。在游戏过程中，我们把每一张出现的2,3,4,5,6都算+1点，7,8,9算作0点，10，J,Q,K,A算作-1点，将各点相加，结果越大，表示前面出现的小牌越多，对玩家越有利。结合凯莉规则，我们可以在点数较大时下最优的赌注，在点数小时下最小赌注或者干脆不下，理论研究表明这种方法可以提高玩家的胜率3%左右，这已经是一个很大的数了，因为如果你有100万的本钱，那么你的期望将会提高3万。

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