如何把握概率的概念中秋寄语
概率的内容在中学已经出现好几年了。从目前在教学中的实际情况来看，主要的问题是，教学的重点被放在了用排列组合计算古典概率上，放在了概率、均值、方差等的数值计算上，而忽略了对概率等概念本身的理解。另外，现在高考中的应用题大都变成了概率题，实际上，这些题目只是计算一些有应用背景的概率值，并不能很好地体现数学的应用。这种教学使得学生学完概率这部分内容后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，中奖等。而中学引入概率的内容，是希望学生能对随机现象有一个初步的认识，使他们在今后的学习和工作中，对随机现象中出现的一些问题，能有一个正确的分析。
本文将主要谈概率的概念和如何理解其实质。
概率的定义
概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆。大多数数学家、概率论专家并不关心这种讨论，通常把这种问题留给哲学家去处理。
在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的。即使是大学数学系的学生，由于他们大都
不学‘测度论’，也无法完整地理解这种公理体系的意义。这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。
例如，概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定’在一个常数p附近。n越大，频率偏离这个常数p大的可能性越小。这个常数p称为该事件的概率。
有些人去探讨‘试验’等词的定义。把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’。事实上，‘做一次试验’并不难理解。如掷一个硬币，摸三个红球，取十个产品等等，个别复杂的试验也不难向学生解释。把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’，反而更难让人理解。什么叫‘条件’？什么叫‘实现’？这显然是不恰当的。何况‘试验’根本不是数学中的名词。
我们要清楚上述定义只是描述性的，而且它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(a123类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’)。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。事实上，概率的统计定义的数学描述是（弱）贝努里大数
律（老师们在大学都学过）：
它说的是：当试验次数时，一个事件发生的频率与某个常数p的偏差大于任一个正常数的可能性趋于零。之所以不能用这个式子中的常数p作为‘概率’的定义，是因为在这个式子中已经有了‘概率’。
那么，我们在中学的教学中，应该如何把握概率的概念呢？‘理解其实质’是指什么呢？
我想主要应该理解以下几点：
(1) 我们所讨论的现象是可以做‘重复试验’的。换句话说，并非所有不确定现象都是概率论研究的对象。例如，本·拉登是否还活着，某某人今天脸不好是否不高兴，等等。这类问题没有重复试验的意义，属于人们的主观猜测与愿望。尽管人们有时也说：‘十有八九他不高兴’,‘我认为拉登活着的可能性只有百分之十’。这被称为主观概率。对主观概率的研究并非没有意义，但并非我们概率论研究的对象。概率论描述的是可以重复试验的模型。‘重复试验’是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里
给出的是数学模型。至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题。
（2）频率和概率的关系猫眼三妹漫画。频率反映了事件发生频繁的程度，从而可以用来度量事件发生的可能性大小。但频率是随机的，是这n次试验中的频率。换另外n次试验，一般说，频率将不同，而概率是一个客观存在的常数。因此，人们用概率来度量事件发生的可能性。不过，在现实中，概率往往是不知道的，通常用频率来估计概率。恰如在现实中，一个物体的体积是一个客观的常数，但其值是未知的，我们是用测量值来估计其体积，而每次测量都会有误差（即测量值是随机的）。
(3) 概率反映的是多次试验中频率的稳定性。有人往往错误地以为，掷一个均匀硬币，正面出现的概率等于二分之一，就应该两次试验中出现一次正面。掷一个均匀骰子，每掷六次，各点都应该出现一次。否则就是不均匀。事实上，频率的稳定性反映的是大量试验中出现的性质，其稳定性要在试验次数很多时才体现出来。对个别的几次试验，由于其随机性，是无法预料的。
(4) 出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。在概率的教学中，对一
些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的。例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验来模拟。但必须注意到频率偏离概率大的情形。例如,扔一百个均匀硬币，一面出现41个，另一面出现59个，是不奇怪的。对此教师应有充分的认识。
（5）结果的随机性不同于结果未知。比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立，但这个命题没有任何随机性。
有人认为概率的统计定义没什么可讲的，学生有生活经验，很容易理解。从某一方面看，确实如此。学生不难理解掷均匀硬币时，出现正面的可能性是二分之一；掷均匀骰子时，出现各个点数的可能性都是六分之一，等等。（不过，从历史上看，人们认识到这一点是经过了很长的一个时期的。教科书上记载的那些历史上掷硬币的试验说明了这一点。之所以会做这么多的试验，就是因为人们在过去认识不到这种频率的稳定性。）
但是，另一方面，不要以为只靠掷硬币或掷骰子这样的例子就可以讲清楚概率的统计定义。
教师应在后面的学习中不断地加深学生对这方面的认识。事实上，学生还不断地会出现困惑的问题。下面举两个例子，在讲二项分布时，这两个例子有时会出现。不过，在这里我们是要让学生理解概率的概念。
例1（掷硬币问题） 把一个均匀硬币掷100次，出现50次正面的概率有多大？
解 具体的计算学生和老师都会，这里就不说了。答案是，出现50次正面的概率为
[在教学中，有些老师（包括某些教科书）在给出答案时，只给出上式的左边，不算出其数值，以为数值是近似的，不如左边的公式解严格。但是，我们在学习概率时，如果不能了解我们讨论的事件发生的大小，是很难真正理解随机现象的。许多时候，近似的数值解比抽象的公式解更说明问题。]
我们知道，掷一个均匀硬币，‘出现正面’的概率是0.5。有人以为，掷100次应该出现50次正面。为什么这件事发生的概率只有0.08，和想象相差甚远。好像均匀硬币不应该有这样的结果。你学过了概率的统计定义，该如何解释这一结果呢？
事实上，一个事件的概率0.5是指，在大量重复试验中，该事件出现的频率‘稳定’在0.5（即在0.5附近，偏离0.5很大的可能性极小），并非每两次试验中出现一次。那么，掷100次均匀硬币出现50次正面的概率，也应该理解为，做大量重复试验，即多次地掷100次硬币，‘出现50次正面’的频率应‘稳定’在0.08。
下面是一个模拟试验结果（选自W.费勒的‘概率论及其应用’）。做了100次试验（在这里，我们把‘掷100个均匀硬币’看成是一次试验），每次出现正面个数如下：
54 46 53 55 46 54 41 48 51 53
48 46 40 53 49 49 48 54 53 45
43 52 58 51 51 50 52 50 53 49
58 60 54 55 50 48 47 57 52 55
48 51 51 49 44 52 50 46 53 41
49 50 45 52 52 48 47 47 47 51
43 47 41 51 49 59 50 55 53 50
53 52 46 52 44 51 48 51 46 54
43 47 46 52 47 48 59 57 45 48
47 41 51 48 59 51 52 55 39 41
我们看到，掷100个均匀硬币不一定出现50个正面。可以出现54个正面，也可以出现46个正面，等等。在上述100次试验中，出现50个正面的有7次。即掷100次均匀硬币出现50次正面的频率是0.07，和理论上的值0.08相差不大。
应该看到，对一个均匀硬币来说，掷100次‘出现50次正面’的概率0.08虽然不大，但比正面出现其它次数，例如出现49次、53次等的概率还是大的。
在上述的模拟试验中，一共掷了10000次硬币，其中正面出现了4979（只需把上表中的100个数据求和）次。即正面出现的频率为0.4979，近似于0.5。说明我们的硬币是均匀的。
再看一个例子。有人认为中奖率千分之一的，买一千张就应该中奖。并问到：如果买一千张不中奖，那怎么解释‘中奖率是0.001’呢？有的人即使学过了概率，对此也还是不清楚如何回答。为此我们来看下面的问题。
例2 （中奖问题）设发行的中奖率是0.001。假定发行的数量巨大，以至于不论别人无论买多少都不会改变你抽奖时的中奖率。求买n张时中奖的概率。特别地，由于中奖率是千分之一，买1000张中奖概率是否接近于1。
解 令X为n张中中奖的数。由题设，可认为X的分布为
此时，买n张中奖的概率为
同样，我们不应该只停留在该问题的公式解。利用公式可以得到下表给出的数值结果：
n 1000 2000 3000 4000 5000
p n 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
从这表可以看到，中奖率千分之一的，买1000教师祝福语张中奖的概率只有63.2%，而不是接近1。
在这问题中，公式和上表的数值结果比，后者说明问题更清楚。比如数值表还告诉我们，买3000张中奖率已到达95%，再多买2000张（共5000张）中奖率只增加了4.3%。这无疑对如何购买有参考价值。
那么，中奖率千分之一的，买1000张中奖的概率只有63.2%，而不是接近1。又该如何解释呢？
和例1的讨论是一样。在那里我们说明了，尽管硬币是均匀的，但掷100次不一定出现50次正面，其概率只有0.08。在这里我们说明的是，在发行中，当中奖张数占发行张数的千分之一（即中奖率为千分之一）时，如果许多人都买1000张，那么，有的人可能买到一张中奖的，有的人可能买到两张中奖的，小龙虾做法……等等，也有人一张中奖的也没买到。其中约有63%的人买到了中奖的，中了奖。换句话说，在买1000张的人中，中奖的频率应稳定在63%哪种中奖率高左右。
以上的例子是想强调，在我们学习概率论时，不应该简单地套公式；而应该理解问题的背景和意义。希望通过这两个例子能更好地理解概率的统计定义。
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