2022年高考模拟演练 数学参考解答
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 设向量(3,2)=a ，(,2)m =-b ，若m ⋅=a b ，则+=a b
A . (1,0)
B . (2,0)
C . (4,0)
D . (5,0)
【解析】由题，34m m =⋅=-a b ，解得2m =，所以(3,2)(2,2)(5,0)+=+-=a b .
【命题分析】本题属于简单题，考察向量坐标形式的加法运算和数乘运算.
2. 已知集合()(2,)P Q =-+∞R ，(2,1)P Q =-，则Q =
A . (2,)-+∞
B . (,1)-∞
C . (,2]-∞-
徐若瑄的老公D . [1,)+∞ 【解析】根据右边的Venn 图：
I 区表示()P Q R ；
II 区表示P Q ； III 区表示()Q P R ；
IV 区表示()P Q R .
由题，集合()P Q R 对应于I 区，II 区，IV 区的并集，所以III 区对应(,2]-∞-，从而Q 对应II 区，III 区的并集，故(,1)Q =-∞.
【命题分析】本题属于简单题，考察集合的交、并、补运算. 在确保试题难度合理的同时适当创新，引导考生通过Venn 图进行直观思考，避免了繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案. 需要注意的是，解析中的四个分区可能有空集（这时存在集合间的包含关系），但两两相交一定是空集.
3. 若圆22()(1)4x a y -+-=(0)a >与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为
A
B . 2 C
. D
.
【解析】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公
21=+，结合0a >
解得a =.校园侠医
2022高考安排
【命题分析】本题属于简单题，考察圆与圆的位置关系与公切线问题. 近年高考题中大多考察圆与直线的位置关系，但圆与圆的位置关系也是很重要的知识点，不可忽略. III I
II
4. 以下结论中错误的是
A . 经过不共面的四点的球有且仅有一个
B . 平行六面体的每个面都是平行四边形
C . 正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直
D . 棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
【解析】D 选项错误，棱台的侧棱只要求汇于一点，并不要求与底面不垂直.
【命题分析】本题属于简单题，考察几何体的概念与基本性质、立体几何中的基本定理等. 棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球是立体几何的基本几何体，其中的概念需要熟练掌握；特别地，直棱柱、正棱柱、平行六面体等更为精细的概念，更需要回归课本，加以区分.
5. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明. 四平方和
定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++. 设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是
A . 28
B . 24
C . 20
D . 16
【解析】显然a ，b ，c ，d 均为不超过5的自然数，下面进行讨论.
最大数为5的情况：
①2222255000=+++，此时共有14A 4=种情况；
最大数为4的情况：
②2222254300=+++，此时共有2
4A 12=种情况；
③2222254221=+++，此时共有2
4A 12=种情况.
当最大数为3时，222222223322253321+++>>+++，故没有满足题意的情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是4121228++=.
【命题分析】本题属于中档偏易题，以四平方和定理为命题背景，考察分类讨论和计数原理. 数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，其中的颇多问题吸引着无数的数学家和数学爱好者研究，例如其中最负盛名的Goldbach 猜想、孪生素数猜想、Fermat 大定理、Riemann 猜想等问题，仍然是当今数学界耀眼的明珠. 2018年全国II 卷就曾以Goldbach 猜想为 背景，考察古典概型，而本题可谓是对该题的致敬.
6. “熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为1
ln n
B i i i S k p p ==-∑，其中i
表示所有可能的微观态，i p 表示微观态i 出现的概率，B k 为大于0的常数. 则在以 下四个系统中，混乱程度最高的是
A . 1212
p p == B . 113p =，223p = C . 12313p p p === D . 116
p =，213p =，312p = 【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）.
A . 系统的混乱程度1111ln ln ln 22222A S +=
-； B . 系统的混乱程度11222ln ln ln 2ln3ln 333333B
S +=-=-； C . 系统的混乱程度11111ln ln ln 3ln 333333C
S
++=
-； D . 系统的混乱程度11111111ln ln ln ln 2ln 366332232
D S ++=--=- 其中C S 最小，从而C 选项对应的系统混乱程度最高.
【命题分析】本题属于中档题，以“熵”为命题背景，考察信息提取能力（重点）和对数大小的比较（次重点）. “熵”是统计物理学和信息学常用的概念，高考曾多次或直接或间接地进行考察，例如2005年全国I 卷22题，2020年新高考卷12题
. 本题要求 相对而言较低，考生只需读懂公式，针对具体的情况进行计算即可. 选项的设置类似于 2020年全国III 卷3题，给出四种情形下的概率分布，但本题需要逐一求解，相对耗费 时间更多
.
7. 已知α，(0,)∈πβ，tan()
32π+=α
，cos()63
π+=β
，则cos(2)-=αβ A
龙之谷防沉迷B C . D . 【解析】根据待求式的结构，可以考虑这样的构造：22()()362
家长教育孩子的方法πππ-=+-+-αβαβ. 根据诱导公式，cos(2)cos[2()()]sin[2(
)()]36236
淘宝和天猫有什么区别πππππ-=+-+-=+-+αβαβαβ. 22tan()3sin[2()]33tan ()13π+π+==π++ααα，22
tan ()113cos[2()]33tan ()13
π+-π+==-π++ααα；
cos()6π+=
β，()(0,)62ππ+∈β，所以sin()6π+=β，故cos(2)-=αβ. 【命题分析】本题属于中档题，考察诱导公式和三角恒等变换.
8. 下图为正三棱柱ABC DEF -的一个展开图，若A ，1A ，2A ，D ，1D ，2D 六点在
同一个圆周上，则在原．．正．三棱柱中．．．．
，直线AE 和直线BF 所成角的余弦值是
A . 58
B . 57
C .
D . 7 【解析】六点共圆的示意图如图所示.
设原正三棱柱的底面边长为2a ，高为2b ，圆的半径为r .
则有方程组222,3.
b r b a r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得2r b ==.
.
设直线AE 和直线BF 所成角为θ，则
cos ||||
AE BF AE BF ⋅=⋅θ.
由勾股定理，||||(2)4AE BF a a ==+=；
()()AE BF AB BE BE EF ⋅=+⋅+
2BE AB EF =+⋅
222(2)(2)(2)cos 103b a a a π=+⋅=. 故22105cos 816||||
AE BF a a AE BF ⋅===⋅θ. 【命题分析】本题属于中档偏难题，涉及的知识点较多，主要考察几何体的展开图、异面直线所成的角等. 题干以“六点共圆”为条件，是创新的体现. 棱柱中异面直线的夹角在高考中考察多次，例如2018年全国II 卷9题、2017年全国II 卷10题等，方法较多，需要熟练掌握.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知函数()2sin(2)f x x =+ϕ(0)<<πϕ的图像关于直线x =π对称，则
A . ()f x 是奇函数
B . ()f x 的最小正周期是π
C . ()f x 的一个对称中心是(2,0)-π
D . ()f x 的一个递增区间是(2,3)
【解析】
B . ()f x 的最小正周期是22T π==π，B 正确； A . 由于()f x 的图像关于直线x =π对称，且最小正周期
是π，因此()f x 的图像也 关于直线0x =对称，故()f x 是偶函数，A 错误；
C . 因为是偶函数，且最小正周期是π，则()2cos2f x x =或()2cos 2f x x =-，根据
0<<πϕ可得解析式为前者. ()f x 的对称中心为(,0)()2
k k ππ-∈Z ，C 错误； D . 由于(2,3)(,)2
π⊆π，而()f x 在(,)2ππ单调递增，D 正确. 【命题解析】本题属于中档偏易题，考察三角函数的图像与基本性质. 10. 已知3
2()3ln (21)f x x x x =--，则
A . ()f x 的定义域是1[,)2
+∞ B . 若直线y m =和()f x 的图像有交点，则3(,ln 2]2
m ∈-∞-
C . 7ln
163
<-
D . 32ln 1)29> 【解析】
A . ()f x 的定义域是各部分定义域的交集，故A 正确；
B . 对()f x 求导数得()3(ln 1f x x '=+-，()f x '的单调性不易判断，因此再
设()ln 1g x x =+1()
g x x '=
=令()0g x '≤，发现恒成立. 故()g x 在1[,)2+∞单调递增. 又因为(1)0g =，则()g x 在1[,1)2递增，在(1,)+∞递减. m 的
最大值应为(1)1f =-，B 错误；
C . 由B 中的分析，7()(1)6g g <，代入得7ln 163
<-，C 正确；
D . 由B 中的分析，3()(1)2f f <，代入得93ln 122
<-，D 错误. 【命题分析】本题属于中档题，考察函数与导数，函数的单调性.
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