2010年全国高中数学联赛
一、填空题（每小题8分，共64分，）
1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .
2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 .
5.函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ，则=αsin .
8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数)0()(2
全国知名高中3≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.
10.（20分）已知抛物线x y 62
=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.
11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215
2a a a r r r .
加 试
2. （40分）设k 是给定的正整数，12
r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
，11=⎡⎤⎢⎥．
3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤= ，记 12,1,2,,k k a a a A k n k +++=
= ． 求证：
1112n n k k k k n a A ==--<∑∑．
4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
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