2023北京四中高三3月月考数学(教师版)
2023北京四中高三3月月考
数    学
（试卷满分：150分    考试时间：120分钟）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合{
}{}
124,Z 1x
A x
B x x =<≤=∈≥，则A B =（  ）
A. (]1,2
B. []1,2
C. {}1,2
D. {}1
2. 复数12i
2i
z −=+的模z =（  ）
B. 2
D. 1
3. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（  ） A. 若//l α，//m α，则//l m    B. 若//l α，//l β，则//αβ C. 若l α⊥，m α⊥，则//l m
D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
4. 设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（    ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若120a a +>，则230a a +>    B. 若130a a +<，则120a a +<
C. 若120a a <<，则2a >2022年3月1号还能转账吗
D. 若10a <，则()()21230a a a a −−>
6. 已知20232035a =，20352023b =，2050log 2023c =，则（  ） A. c c a b <
B. a b c c <
C. log log a b c c >
D. log log c c a b >
7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是圆()()2
2
:341C x y −+−=上的动点．若(),0A a −，(),0B a ，
0a ≠，则PA PB +的最大值为（  ）
A. 16
B. 12
C. 8
D. 6
8. 函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>，在区间[],a b 上是增函数，且()f a A =−，()f b A =，则函数
()()cos g x A x ωϕ=+在[],a b 上（  ）
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 最大值为A
D. 最小值为A −
9. 明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节､时辰的日月星辰在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，
最小的一块边长约2cm (称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差2cm ，最大的边长约24cm (称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72cm ，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换､调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为（    ）
A.
1235
B.
13
C.
16
D.
1237
10. 给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()
()
1n n n n f x x x f x +=−'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知
{}n x 为()22f x x x =−−的牛顿数列，2
ln
1
n n n x a x −=+，且()11,2n a x n +=>∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023
S =（
）
A. 202321−
B. 202421−
C. 2022
112⎛⎫− ⎪⎝⎭
D. 2023
112⎛⎫− ⎪⎝⎭
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线22y px =的准线方程为=1x −，则p =_________ 12. ()5
12x +的展开式中3x 项的系数为_____________.
13. 已知双曲线()2
2210x y a a
−=>的渐近线与圆22430x y y +−+=相切，则=a _________.
14. 能够说明“若a b >
<”是假命题的一组非零实数a ，b 的值依次为___________. 15. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；
②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D
三点的正方体截面面积的最小值为4
； ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值；
④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD + 其中所有正确结论的序号有________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin cos b A B =． （1）求角B 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求
ABC 的面积．
条件①：4a =，3b =；
条件②：1c a −=，b =；
条件③：3c =，cos 14
C =
． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的记步数信息，下图是职工甲和职工乙记步数情况：
（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙记步数都不低于10000的概率； （2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中记步数不低于10000的天数为X ，求
X 的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工记步数的频率分布
直方图．已知这一天甲和乙记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
18. 如图所示，在三棱柱111ABC
A B C 中，D 是AC 中点，1A D ⊥平面ABC ，平面1BB D 与棱11A C 交于
点E ，12AA AC ==，AB BC =
（1）求证：1BB DE //；
（2）若1B C 与平面11A ABB 所成角的正弦值为
7
，求三棱锥1C ABB −的体积． 19. 已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y
E a b a b
+=>>的左、右焦点，点()0,1M −为椭圆的一个顶点，
12F MF △是顶角为120°的等腰三角形．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆E 于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且
124k k +=，求证：直线AB 过定点．
20. 已知函数()()sin cos f x x x a x =−+，函数()32
1132
g x x ax =+，其中a ∈R ． （1）讨论函数()f x 在()0,π上的单调性；
（2）当0a ≥时，证明：曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点． 21. 已知集合{}()
*1,2,3,
,
M n n =∈N ，若集合{}()
*12,,
,m A a a a M m =⊆∈N ，且对任意的b M ∈，存在
i a ，()1j a A i j m ∈≤≤≤，使得12i j b a a λλ=+（其中{}12,1,0,1λλ∈−），则称集合A 为集合M 的一个
m 元基底．
（1）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{}1,5A =，{}1,2,3,4,5M =； ②{}2,3A =，{}1,2,3,4,5,6M =．
（2）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：()1m m n +≥； （3）若集合A 为集合{}1,2,3,,19M =的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值
时M 的一个基底A ．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】C  【解析】
【分析】由指数函数的单调性解不等式，再求交集.
【详解】因为{
}{}{}
12402,Z 1x
A x x x
B x x =<≤=<≤=∈≥，所以A B ={}1,2.
故选：C  2. 【答案】D  【解析】
【分析】首先根据体题意得到i z =−，再求模长即可. 【详解】()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2
i 2i 2i 2i 5
z −−−−−−====−++−， 所以1z =. 故选：D  3. 【答案】C  【解析】
【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，若//l α，/m ，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误. 对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.
对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确. 对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误. 故选：C  4. 【答案】A  【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A. 5. 【答案】C  【解析】

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