数学七大“千年未解之谜”
数学七⼤“千年未解之谜”
数学，是最古⽼的学科。⼀些悬⽽未决的数学问题历经千百年仍为⾃⾝保守着秘密。
⽐如数学中最古⽼的未解之谜——孪⽣素数猜想，就是由古希腊著名数学家欧⼏⾥得提出的，距今已近2300年。该问题最重⼤的突破由华⼈数学家张益唐于2013年独⾃完成。
1900年，德国⼤数学家希尔伯特——当时世界数学领域的领袖⼈物，提出了雄⼼勃勃的23个数学问题。⼀个世纪过后，除了⼀个问题外，22个问题都已经得到完全或者部分解决。
2000年初，美国克雷数学研究所也发起了⼀场挑战：公开向世界征求七⼤数学难题的解答。这些问题涉
及纯粹数学和应⽤数学中最艰深和迷⼈的领域：从拓扑学和数论到粒⼦物理学、密码学、计算理论甚⾄到飞机设计，它们也被称为“千年难题”。
“千年难题”位于数学世界之巅，或许代表着⼈类智⼒活动的巅峰，⽽每⼀个问题的解决，也许就意味着到⼀座隐匿着未知真理的巨⼤宝藏。这些问题激励着⼀代⼜⼀代最杰出的数学家投⾝其中，以期获得解锁⼈类未来⽂明的密码。
■谜题⼀：黎曼猜想
这是1900年希尔伯特提出的23个问题中唯⼀未被解决的问题。
1859年，德国数学家黎曼在提交给柏林科学院的论⽂中提出⼀个猜想，试图完全回答数学中最古⽼的问题之⼀：素数在⾃然数中的分布规律。早在公元前350年，欧⼏⾥得已经证明了素数的个数有⽆穷多，但是对其分布的规律却⼀⽆所知。黎曼猜想则对这种分布规律提出了确定的模式。
这⼀猜想的解决很可能打开⼀扇宏伟的⼤门，将数学和物理以前所未有的形式连接在⼀起，从⽽有可能让当代⽂明受益于2000年来数论研究的杰出成就。在此之前，数论⼀直作为最纯粹的数学⼯具⽽与现实世界深度隔离。
■谜题⼆：杨-⽶尔斯理论和质量缺⼝假设
1954年，物理学家杨振宁和⽶尔斯提出了⼀个⽅程，旨在使⽤⾮阿贝尔李描述基本粒⼦的⾏为。杨-⽶尔斯理论被誉为20世纪下半叶最重要的理论物理成就，是现代规范场理论的基础。经过对称性⾃发破缺与渐进⾃由的观念，该理论逐渐发展成今天的标准模型。
由杨-⽶尔斯⽅程发展的标准模型准确地预⾔了在世界各地实验室中观察到的事实，其应⽤已经深⼊在物理学的其他分⽀中，诸如统计物理、凝聚态物理和⾮线性系统等等。从实践的⾓度来说，杨-⽶尔斯⽅程已经获得巨⼤成功，但是其相应的数学理论还没有建⽴起来，特别是在数学上需要确定的“质量缺⼝假设”。该假设提供了电⼦为什么有质量的⼀种解释。
质量缺⼝假设的完全解决将提供严格的理论证明，同时也让物理学家受益。此前物理学家只能观察到电⼦有质量，却⽆法解释电⼦的质量从何⽽来。
■谜题三：P和NP问题中国不解之谜
计算机领域诞⽣了两个影响⼈类⽂明进程的⼤问题。第⼀个就是希尔伯特提出的第⼗问题：是否存在⼀种机械的算法来判定丢番图⽅程的可解性。英国数学家图灵正是基于对该问题的思考⽽建⽴了图灵机，成为彪炳史册的现代计算机之⽗。
另⼀个问题就是P和NP问题。此问题的核⼼是研究计算机解决问题的效率。计算机科学家把计算问题分成两类：这⾥的P指多项式时间，⼀个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算；NP指⾮确定性多项式时间。⼀个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。
然⽽，现代绝⼤多数在⼯业和商业中的⼤型计算任务都是NP问题。对该问题的肯定解答将对⼯业和商
业乃⾄互联⽹产⽣极为深远的影响。
■谜题四：纳维-斯托克斯⽅程
数学家和物理学家都深信，⽆论是天⽓预报还是⼤浪湍流，都可以通过纳维-斯托克斯⽅程的解来刻画和解释。
19世纪中叶，法国科学家纳维和英国物理学家斯托克斯提出了描述流体和⽓体运动⾏为的⽅程。该⽅程揭⽰了⼀般分⼦运动的基本规律，因此对物质运动提供了最深刻和可靠的理解。它逐渐在天⽓预报、⼤⽓海洋、⽯油勘探、电⽓⼯程、⽔利⼯程、机械制造、国防军⼯（诸如核弹模拟）、飞机设计、航空动⼒学、航天⼯程、⾏星运动等前沿科技与⼯业制造中发挥着核⼼的作⽤。
破译纳维-斯托克斯⽅程解的密码，⽆疑将在科技和实践层⾯带来翻天覆地的突破，提升整个现代⽂明的等级。
■谜题五：庞加莱猜想
19世纪末，法国⼤数学家庞加莱提出了⼀个数学领域的简单问题：怎样才能把⼀个苹果和⼀个甜甜圈区分开来？
该问题位于数学中最迷⼈的领域之⼀——拓扑学，它以深刻⽽基本的⽅式展现了物质形体之间的关联。庞加莱猜想的完全解决将帮助⼈们完全了解物质的空间⼏何结构的存在形式。这⼀问题的彻底解决，将对半导体等电⼦器件的设计和制造、万维⽹的设计、交通运输规划、动画设计甚⾄对⼤脑神经元的结构都将有⾰命性的认识。
拓扑学不仅在泛函分析、李论、微分⼏何、微分⽅程和其他许多数学分⽀中都有⼴泛的应⽤，也对物理学产⽣重⼤的推动作⽤。2016年，三位物理学家因为发现物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献⽽分享了诺贝尔奖。
鉴于其重⼤的理论和⼯业影响⼒，庞加莱猜想顺理成章地成为拓扑学的圣杯。令⼈欣慰的是，该猜想最终由俄罗斯的天才数学家佩雷尔曼在2004年完全解决。这也是迄今为⽌唯⼀被破译的千年之谜。
■谜题六：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想
公元3世纪，古希腊亚历⼭⼤城的数学家丢番图开始研究⼀类系数为整数的不定⽅程的解。寻此类丢番图⽅程的整数解开启了代数学上最为辉煌的⼀个分⽀。⽐如著名的费马⼤定理就是⽆数丢番图⽅程的⼀个极其简单的特例。
对于更加复杂的⽅程，要了解⽅程解的信息变得极为困难。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想提供了关于某些困难情况下的解的信息。
和黎曼猜想⼀样，对这⼀问题的解答将增加我们对素数的全⾯理解，从⽽有可能到上帝⽤⾃然数创世的密码。
■谜题七：霍奇猜想
20世纪上半叶，数学家发现了研究复杂对象形状的有⼒⽅法。其基本的想法就是把维数逐渐增加的简单⼏何砌块黏合在⼀起，从⽽逼近⼀个给定对象的形状。这种想法的核⼼问题就在于逼近物体的程度。
基于不同逼近⽅式的分类，数学家发明了许多有⼒的⼯具，它们在实践中被证明极富成效，但是却缺乏这个过程的⼏何源头。霍奇猜想断⾔，对这些对象中的⼀类重要对象（射影代数簇），即被称为霍奇闭链的部件均是⼏何部件（代数闭链）的组合。⽤通俗的语⾔来说，霍奇猜想表明：任何⼀座精美宏伟的宫殿，都可以由⼀堆积⽊垒成。
最新的研究则表明，霍奇猜想与⼴义相对论、量⼦纠缠和庞加莱猜想在更深的层次上有可能融为⼀体。对它的深刻认知，有助于了解宇宙中最深邃奇妙的物质构成。
（作者：黄逸⽂，系中国科学院数学与系统科学院副研究员，由中国科学院“科学⼤院”提供）转⾃：科学⼤院

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