上海市杨浦区2021-2022学年第一学期初三数学期末试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）将函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是( )
A ．开口方向不变
B ．顶点不变
C ．与x 轴的交点不变
D ．与y 轴的交点不变
2．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果A α∠=，1AC =，那么AB 等于( )
A ．sin α
B ．cos α
C ．1sin α
D ．1cos α 3．（4分）已知1e 和2e 都是单位向量，下列结论中，正确的是( )
A ．12e e =
B ．120e e -=
C ．12||||2e e +=
D ．122e e +=
4．（4分）已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中，正确的是( )
A ．512P
B AP += B ．512PB AB +=
C ．512AP AB -=
D ．512
AP PB -= 5．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点E 、F ，下列结论中，错误的是( )
A ．AE OE FC OF =
B ．AE BF DE F
C = C ．A
D O
E BC O
F = D ．AD BC DE BF
= 6．（4分）如图，点F 是ABC ∆的角平分线AG 的中点，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，线段DE 过点F ，且ADE C ∠=∠，下列结论中，错误的是( )
A ．12DF GC =
B ．12DE B
C = C ．12AE AB =
D ．12
AD BD = 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知34y x =，那么x y x -= ． 8．（4分）计算：2cos 45tan30sin60︒-︒︒= ．
9．（4分）抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 ．
10．（4分）二次函数24y x x =-图象上的最低点的纵坐标为 ．
11．（4分）已知a 的长度为2，b 的长度为4，且b 和a 方向相反，用向量a 表示向量b = ．
12．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是4:9，那么它们的周长之比等于 ．
13．（4分）已知在ABC ∆中，10AB =，16BC =，60B ∠=︒，那么AC = ．
14．（4分）已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点G 是ABC ∆的重心，那么点G 到斜边AB 的距离是 ．
15．（4分）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为 米．
16．（4分）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60︒方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30︒方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于 海里．
17．（4分）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt ABC ∆为“格线三角形”，且90BAC ∠=︒，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为 ．
18．（4分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5tan 12
A =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒后得ADE ∆，点
B 落在点D 处，点
C 落在点E 处，联结BE 、C
D ，作CAD ∠的平分线AN ，交线段B
E 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AM AN
的值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，且23DE BC =
． （1）如果6AC =，求AE 的长；
（2）设AB a =，AC b =，试用a 、b 的线性组合表示向量DE ．
20．（10分）已知二次函数2245y x x =-+．
（1）用配方法把二次函数2245y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）如果将该函数图象沿y 轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，顶点为C ，求ABC ∆的面积．
21．（10分）如图，已知在ABC ∆中，CD AB ⊥，垂足为点D ，2AD =，6BD =，2tan 3
B ∠=初三数学上册期末试卷
，点E 是边BC 的中点．
（1）求边AC 的长；
（2）求EAB ∠的正弦值．
22．（10分）如图，为了测量建筑物AB 的高度，先从与建筑物AB 的底部B 点水平相距100米的点C 处出发，沿斜坡CD 行走至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度1:3i =，坡顶D 到BC 的距离20DE =米，在点D 处
测得建筑物顶端A 点的仰角为50︒，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB 的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19)︒≈
23．（12分）已知，如图，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，//AE CD ，//DE AB ，过点C 作//CF AD ，交线段AE 于点F ，联结BF ．
（1）求证：ABF EAD ∆≅∆；
（2）如果射线BF 经过点D ，求证：2BE EC BC =⋅．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212
y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结AP 、BC ，AP 与线段BC 相交于点F ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P 的坐标；
（3）过点P 作PG x ⊥轴，垂足为点G ，PG 与线段BC 交于点H ，如果PF PH =，求线段PH 的长度．
25．（14分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AC BC ==，点D 为射线AB 上一动点，且BD AD <，点B 关于直线CD 的对称点为点E ，射线AE 与射线CD 交于点F ．
（1）当点D 在边AB 上时，
①求证：45AFC ∠=︒；
②延长AF 与边CB 的延长线相交于点G ，如果EBG ∆与BDC ∆相似，求线段BD 的长；
（2）联结CE 、BE ，如果12ACE S ∆=，求ABE S ∆的值．
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