线性代数 吴赣昌 教案--第五章-二次型
学年度第    学期
线性代数 课堂教学方案
   
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授课教师            
  年    月  日
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
1
授课时间
教学时间安排
1学时
授课题目
（章节）
第五章  二次型
第一节二次型及其矩阵
教学目的、要求（教学目标）
⑴ 了解二次型的概念
⑵ 掌握二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质
⑶ 熟练掌握求二次型秩的方法
教学重点
与难点
二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，求二次型秩的方法
教学方式、方法与手段
  讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
教学基本内容
及过程
问题导入：在解析几何中，为了便于研究二次曲线
             
的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换                         
把方程化为标准形式
                          .
这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论个变量的二次多项式的化简问题.
内容要点
一、二次型的概念
定义1 含有个变量的二次齐次函数
称为二次型. 当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.
二、二次型的矩阵
取,则于是
     
其中.
称为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵称为该二次型的矩阵.二次型称为实对称矩阵的二次型. 实对称矩阵的秩称为二次型的秩. 于是，二次型与其实对称矩阵之间有一一对应关系.
三、线性变换
  定义2 关系式
                     
称为由变量到的线性变换. 矩阵
                       
称为线性变换矩阵. 当时，称该线性变换为可逆线性变换.
对于一般二次型,我们的问题是：寻求可逆的线性变换将二次型化为标准型，将其代入得
这里，为关于的二次型，对应的矩阵为.
四、矩阵的合同
定义3 设A,B为两个n阶方矩阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得则称矩阵A合同于矩阵B,或A与B合同,记为
易见, 二次型的矩阵A与经过非退化线性变换得到的二次型的矩阵是合同的.
矩阵的合同关系基本性质:
(1) 反身性 
对任意方阵;
(2) 对称性  若则
(3) 传递性  若则
例题选讲
  例1 二次型的矩阵是
反之, 对称矩阵所对应的二次型是
例2 求二次型
的秩.
理论讲解30分钟，习题选讲10分钟，练习、答疑5分钟
提问：n元二次型是如何定义的？
提问：二次型的秩是怎样定义的？
注: 若, 则与任何向量都正交.
作业与
课外训练
P142  3
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3. v.163/special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
课后小结
本节学习了二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，学习了求二次型秩的方法。课后加强二次型秩的计算
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
1
授课时间
教学时间安排
2学时
授课题目
（章节）
第二节 化二次型为标准形
教学目的、要求（教学目标）
⑴ 了解二次型与对称矩阵的规范形
⑵ 掌握化二次型为标准形的三种方法
教学重点
与难点
化二次型为标准形的三种方法
教学方式、方法与手段
  讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
教学基本内容
及过程
内容导入
若二次型经可逆线性变换化为只含平方项的形式
则称之为二次型的标准形.
由第4章实对称矩阵的对角化方法可知,可取为正交变换矩阵，则二次型在线性变换下,可化为如果为对角矩阵
则就可化为标准形其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.
内容要点
一、用配方法化二次型为标准形.
定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.
拉格朗日配方法的步骤:
(1) 若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;
(2) 若二次型中不含有平方项, 但是,则先作可逆变换
化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.
注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与的特征值无关.
因为二次型与它的对称矩阵有一一对应的关系，由定理1即得:
定理2 对任一实对称矩阵，存在非奇异矩阵，使
为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
二、用初等变换化二次为标准型
设有可逆线性变换为，它把二次型化为标准型，则. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵，使, 于是
.
由此可见, 对矩阵施以相应于右乘的初等列变换, 再对施以相应于左乘的初等行变换, 则矩阵变为对角矩阵, 而单位矩阵就变为所要求的可逆矩阵.
三、用正交变换化二次型为标准形
定理3 若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令,则B也为对称矩阵,且
注: (1) 二次型经可逆变换后,其秩不变,但f的矩阵由A变为
(2) 要使二次型f经可逆变换变成标准形,即要使成为对角矩阵, 即
定理4  任给二次型总有正交
变换使f化为标准形
其中是f的矩阵的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式求出;
(2) 求出A的所有特征值;
(3) 求出对应于特征值的特征向量;
(4) 将特征向量正交化, 单位化, 得, 记
(5) 作正交变换,则得f的标准形
四、二次型与对称矩阵的规范型
将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为
其中
定理5  任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.
注: 把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数,是二次型的秩.
注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形
定理5  设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵，且使得
，
则
注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
例题选讲
用配方法化二次型为标准形
例1将化为标准形.
例2 化二次型成标准形, 并求所用的变换矩阵.
用初等变换化二次为标准型
例3 求一可逆线性变换将
化为标准型.
例4求一可逆线性变换化为标准形.
用正交变换化二次型为标准形
例5 将二次型
通过正交变换化成标准形.
二次型与对称矩阵的规范型
例6 化二次型为规范形, 并求其正惯性指数.
理论讲解45分钟，习题选讲40分钟，练习、答疑5分钟
提问：任意一个实二次型XTAX是否都可经过一个满秩线性变换化为标准型？
提问：任意一个实对称矩阵A是否都合同于一个对角矩阵？
作业与
课外训练
1. 求一正交变换,将二次型
化为标准型, 并指出表示何种二次曲面.
P149    1⑵  3⑴  4
课外阅读资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3. v.163/special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
课后小结
这节课我们主要学习了化二次型为标准形的三种方法以及二次型规范型的概念，课后加强化二次型为标准形的练习 。
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
1
授课时间
教学时间安排
麻省理工申请条件
2学时
授课题目
（章节）
第三节 正定二次型
教学目的、要求（教学目标）
⑴ 了解正定二次型的概念
⑵ 掌握正定二次型的判断方法
教学重点
与难点
正定二次型的判断方法
教学方式、方法与手段
  讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
教学基本内容
及过程
内容要点
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵之二次型
(1) 如果对任何非零向量, 都有
（或）
成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量, 都有
（或）
成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、正定矩阵的判别法
定理1 设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.
定理2  对角矩阵正定的充分必要条件是.
定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.
定理4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数
定理5  矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵, 使.即合同。
推论1 若为正定矩阵, 则.
定理6  秩为的元实二次型, 设其规范形为
则
(1)负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)
(2)半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)
(3)半负定的充分必要条件是 (即)
(4)不定的充分必要条件是(即)
定义2  阶矩阵的个行标和列标相同的子式
称为的一个阶主子式.而子式
称为的阶顺序主子式.
定理7  阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.
注：(1) 若是负定矩阵，则为正定矩阵,。
(2)是负定矩阵的充要条件是：
其中是的阶顺序主子式.
(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a. 对称矩阵是半正定（半负定）的;
b.的所有主子式大于（小于）或等于零；
c.的全部特征值大于（小于）或等于零.
三、正定矩阵的应用
    利用正定二次型，我们可以得到一个判定多元函数极值的充分条件：
设，元函数在的某邻域内有连续的二阶偏导数，则由的二阶偏导数构成的矩阵：
称之为赫斯(Hess)矩阵.
    设为的驻点，由多元泰勒(Taylor)公式可知有如下判别法：
1. 若为正定或半正定矩阵，则为的极小值；
2. 若为负定或半负定矩阵，则为的极大值；
3. 若为不定矩阵，则不是极值；
例题选讲
二次型有定性的概念
例1 二次型当时, 显然有
所以这个二次型是正定的,其矩阵是正定矩阵.
例2  二次型将其改写成
当时, ,故是半负定,其对应的矩阵是半负定矩阵.
例3  是不定二次型,因其符号有时正有时负, 如
正定矩阵的判别法
例4 当取何值时, 二次型为正定.
.
例5判别二次型为负定.
.
例6 证明: 如果A为正定矩阵, 则也是正定矩阵.
  例7 设某企业用一种原料生产两种产品的产量分别为单位，原料消耗量单位，若原料及两种产品的价格分别为(万元/单位)，在只考虑原料成本的情况下，求使企业利润最大的产量.
理论讲解40分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑20分钟
提问：实二次型f(x1,x2,…,xn)为正定的定义是什么？
作业与
课外训练
1.设二次型试确定当取何值时,为正定二次型.
2.判别二次型是否正定.
课外阅读资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3. v.163/special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
课后小结
这节课我们主要学习了正定二次型的概念及其判断方法。

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