3.3 函数的应用(一)~
3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间
素养目标·定方向
课程标准 | 学法解读 |
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题. | 1．领会教材中的五个例题，能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型． 2．解决数学应用题的关键是建模，顺利建立函数模型并解决问题要具备以下能力：阅读理解能力，逻辑推理能力，计算能力. |
必备知识·探新知
基础知识
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时，应注意：
①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；
②一次函数的图像是一条直线．
(2)二次函数模型
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．
思考：一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？
(3)分段函数模型
这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝，k≠0)、二次函数中两种及以上的综合．
(4)对勾函数模型
这个模型的实质是一次函数与反比例函数(形如y＝，k≠0)模型的综合，解决此类问题的最值可用均值不等式求解．
基础自测
1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550 s，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
3．将进货单价为80元的商品按90元/个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个．为了获得最大利润，其售价应定为( )
A．110元/个 B．105元/个
C．100元/个 D．95元/个
4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示．试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出____张门票．
关键能力·攻重难
类型一 一次函数模型的应用
典例1 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份报纸才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱．
思路探究：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析．
归纳提升：实际问题中列出的函数关系式，要考虑实际问题对自变量的限制，即注意自变量的实际意义．对于与一次函数有关的最值问题通常借助一次函数的单调性结合定义域来处理．
┃┃对点训练_
1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( )
类型二 二次函数模型的应用
典例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路探究：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
归纳提升：二次函数的实际应用
1．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
2．对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
┃┃对点训练
2．渔场中鱼的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼年增长量的最大值；
(3)当鱼年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
类型三 分段函数模型的应用
典例3 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．
(1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式；
(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
思路探究：由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
归纳提升：应用分段函数时的三个注意点网约车需要什么条件
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐渐求函数值的范围，最后比较再下结论．
┃┃对点训练
3．大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22 ℃，大约每上升1 km大气温度降低6 ℃，则y关于x的函数关系式为____.
类型四 对勾函数模型
典例4 某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形，占地面积为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x＜14)为矩形厂房的一面；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙总费用最省？(1)(2)两种方案哪个更好？
归纳提升：求解本题的关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式，而难点在于求函数的最小值，两种方案的函数式结构相似，但求最值方法不同，一个可用均值不等式求最值，而另一个则必须改用函数的单调性求最值．
┃┃对点训练
4．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
课堂检测·固双基
1．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图像及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )
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