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河南省南阳市普通高中
2020-2021学年高二年级下学期期终教学质量评估
数学(理)试题
(解析版)
一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）.
1．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球,下列可以作为随机变量的是（ ）
A．至多取到1个黑球 B．至少取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
【分析】利用随机变量的定义直接求解．
解：从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球,
对于A,至多取到1个黑球是随机事件,不是随机变量,故A错误；
对于B,至少取到1个白球是随机事件,不是随机变量,故B错误；
对于C,取到白球的个数是随机变量,故C正确；
对于D,取到的球的个数是常量,故D错误．
故选：C．
2．复数,则在复平面内,z对应的点的坐标是（ ）
A．（1,0） B．（0,1） C． D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标,则答案可求．
解：由＝＝＝i；
则在复平面内,z对应的点的坐标是：（0,1）．
故选：B．
3．某数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,按此规律推理,该数列中奇数项的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】取特殊值代入利用排除法即可求解结论．
解：因为第一项为0,故D错；
第三项为4,故AC错；
故选：B．
4．某市有10000人参加期末考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105,σ2）（σ＞0）（试卷满分150分,大于等于120分为优秀）,统计结果显示数学成绩分数位于（90,105]的人数占总人数的,则此次数学考试成绩优秀的人数约为（ ）
A．4000 B．3000 C．2000 D．1000
【分析】根据已知条件,可得P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝,即可得P（X≥120）的概率,即可求解．
解：设数学成绩为X,
∵数学成绩分数位于（90,105]的人数占总人数的,
又∵数学考试成绩近似服从正态分布N（105,σ2）,
∴P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝,
∴P（X≥120）＝,
∴此次数学考试成绩优秀的人数约10000×．
故选：D．
5．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,P（X＝k）＝ak+b,若X的均值E（X）＝,则a+b等于（ ）
A． B．0 C． D．
【分析】根据已知条件,可得随机变量X的分布列,由分布列的性质,可推得6a+3b＝1,再结合期望的公式,可得,联立两个方程,即可求解．
解：∵离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,P（X＝k）＝ak+b,
∴随机变量X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 |
P | a+b | 2a+b | 3a+b |
由分布列的性质,可得（a+b）+（2a+b）+（3a+b）＝1,即6a+3b＝1 ①,
∵X的均值E（X）＝,
∴,即②,
联立①②,解得,
∴．
故选：C．
6．如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0,﹣1）,B（π,﹣1）,C（π,1）,D（0,1）,正弦曲线f（x）＝sinx和余弦曲线g（x）＝cosx在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用定积分计算公式,算出曲线y＝sinx与y＝cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S＝2π,再由定积分求出阴影部分的面积,利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．
【解答】解根据题意,可得曲线y＝sinx与y＝cosx围成的区域,
其面积为（sinx﹣cosx）dx＝（﹣cosx﹣sinx）＝1﹣（﹣）＝1+；
又矩形ABCD的面积为2π,
由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；
故选：B．
7．在二维空间中,圆的一维测度（周长）l＝2πr,二维测度（面积）S＝πr2；在三维空间中,球的二维测度（表面积）S＝4πr2,三维测度（体积）．应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝（ ）
A．4πr南阳普通高中有哪些4 B．3πr4 C．2πr4 D．πr4
【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，从而得到W′＝V，从而求出所求．
解：二维空间中圆的一维测度 （周长） l＝2πr，二维测度 （面积） S＝πr2；观察发现S′＝l，
三维空间中球的二维测度 （ 表面积 ）S＝4πr2，三维测度 （ 体积 ），观察发现 V′＝S，
四维空间中“特级球“的三维测度 V＝8πr3，猜想其四维测度 W，则 W′＝V＝12πr3，
∴W＝3πr4，
故选：B．
8．设随机变哩X～B（n，p），记．在研究pk的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若（n+1）p为正整数，则k＝（n+1）p时，pk＝pk﹣1，此时这两项概率均为最大值；若（n+1）p为非整数，当k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的股子并实时记录点数1出现的次数．当投郑到第30次时，记录到此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为（ ）的概率最大
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】再进行70次投掷试验中，出现点数为1的次数服从二项分布，结合条件求解．
解：由题意知，继续进行70次投掷试验，出现点数为1的次数服从二项分布X～B（70，），
因为，由条件知当k＝11时，概率最大．
所以总共出现11+7＝18次时概率最大．
故选：C．
9．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解即可．
解：因为每个元件的可靠性是，
所以从A到B这部分电路不畅通的概率为＝，
故从A到B这部分电路畅通的概率为1﹣＝．
故选：C．
10．已知直线与曲线在点（1，f（1））处相切，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的极大值为
B．f（x）的极小值为
C．f（x）在（1，+∞）上单调递增
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