2024届安徽省合肥市高三教学质量统一检测试题（二）数学试题试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2 B ．0 C ．1- D ．1
2．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()322
22x y x y +=.给出下列四个结论：
①曲线C 有四条对称轴；
②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
18； ④四叶草面积小于4
π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②④
3．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭
，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆ C ．A
B =∅ D ．R R
C A C B ⊆ 4．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则
11m n
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.
A ．37,48⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．59,610⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．715,816⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1531,1632⎛⎤ ⎥⎝
⎦ 6．已知椭圆22y a +2
2x b
=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A 5-1
B ．3-12
C ．314
D ．514
7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是 ξ
1- 0 1 P 1(1)3
p - 23 13p 则当p 在(,)34内增大时，（ ）
A ．()E ξ减小，()D ξ减小
B ．()E ξ减小，()D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小
D ．()
E ξ增大，()D ξ增大 8．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P 6，则实数t 的值为（ ）
A ．5
B ．52
C ．ln 222+
D ．ln 322
本届奥运会中国代表团金牌总数+ 9．在ABC 中，12BD DC =
，则AD =（ ） A ．1344
+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233
AB AC - 10．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．
金牌
（块）
银牌 （块） 铜牌 （块） 奖牌
总数 24
5 11 12 28 25
16 22 12 54 26
16 22 12 50 27
28 16 15 59 28
32 17 14 63 29
51 21 28 100 30 38 27 23 88
A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
11．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．23
π
12．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
，则()sin πα+= ( ) A ．223 B ．223- C ．223± D ．13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点(2,1)到直线340x y +=的距离为________
14．若,x y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则32z x y =-的最小值是_________，最大值是_________.
15．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，
5AC AD BC BD ====，则a =__________．
16．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数()()ln x f x a x e bx c x =-+-.
（1）若3a =，0c 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值范围；
（2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-．
18．（12分）已知在
中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围. 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点且3PM MC =，2PA PD ==，112
BC AD ==，=2CD .
()1求证：平面PQB ⊥平面以PAD ；
()2求二面角M BQ C --的大小.
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨
=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线36
:(0)C πθρ=-
>上，且AOB 为正三角形． （1）求点A ，B 的极坐标；
（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值．
21．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}n b 满足()22log 1log n n b a x =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）已知1
1n n n c a a +=，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 22．（10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22
，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.
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