2022-2023学年广东省广州市四校联考高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．511个B ．512个
C ．1023个
D ．1024个
【答案】B
【分析】先算出分裂的次数，即可求得总个数.
【详解】20分钟分裂一次，经过3个小时，总共分裂了九次，也就是29=512个，故选：B ．
2．直线的方向向量为，直线过点且与垂直，则直线的方程为（ ）
l ()2,3m ()1,1l m A ．B ．2350x y +-=2310x y -+=C ．D ．3250x y +-=3210
x y --=【答案】A
【分析】先由直线的方向向量求得，再利用直线垂直的性质求得，从而利用点斜式即可求得
l l k m k 直线的方程.
m 【详解】因为直线的方向向量为，所以
，l ()2,332l k =
又因为直线与垂直，所以，故
，
m l 1l m k k =-23m k =-
所以由直线过点可得，直线的方程为
，即.
m ()1,1m ()2
113y x -=-
-
2350x y +-=故选：A.3．设等差数列的前项和为，若，则＝（ ）
{}n a n n S 3241,8a a a =+=9S A ．60B ．62
C ．63
D ．81
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式直接求解.n 【详解】设等差数列的公差为,
d 由题可得，即，解得,
1111238a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩111258a d a d +=⎧⎨+=⎩11
2a d =-⎧⎨=⎩
所以数列的通项公式,
{}n a 12(1)23n a n n =-+-=-所以
.
1999()
632a a S +=
=故选:C.
4．圆与圆的公共弦长为（ ）
22
40x y +-=2244120x y x y +-+-=A
B ．C
D
．【答案】B
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长.
【详解】联立方程：，222
24044120
x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩两式相减可得公共弦方程，
20x y -+=方法一：联立方程：2240
20
x y x y ⎧+-=⎨
-+=⎩
得，得 ，，即公共弦的端点坐标为，220x x +=10x
=2
2x =-
()0,2()2,0-根据点到直线距离公式可得公共弦长为
d ==方法二：圆的圆心坐标为
，半径为2
2
40x y +
-=()0,02
r =圆心到公共弦的距离为
，
公共弦长为
1d =
d =故选:B
二年级上册数学期中考试试卷分析5．已知椭圆C :，四点,,,
中恰有三点22221(0)x y a b a
b +=>>131,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭(2
P 3P ⎛- ⎝41,P ⎛ ⎝在椭圆上，则椭圆C 的标准方程为（ ）
C A ．B ．C ．
D ．22
143x y +=22
193x y +=2
2
183x y +=22
1
63
x y +=【答案】
D
【分析】根据椭圆的对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上,3P ⎛- ⎝4
1,P ⎛ ⎝131,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程求出即可.
(
2P ,a b
【详解】根据椭圆的对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上
,3P ⎛- ⎝
41,P ⎛ ⎝131,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上
.(
2P 将,
代入椭圆方程得
:(
2
P 3P ⎛- ⎝,
2
22
1
211
a
b =⎨⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩解得,
22
63a b ⎧=⎨=⎩椭圆C 的标准方程为.
22
1
63x y +=故选:D.
6．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的
A BCD -DA D
B D
C 3DB DC ==4=A
D
E BC 中点，则等于（ ）
AE BC ⋅
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】D
【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向
{},,DA DB DC
,AE BC
量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．
【详解】以
为基底向量，则，
{},,DA DB DC
0DA DB DA DC DB DC ⋅=⋅=⋅=
∵，(
)()()
1112,222AE AB AC DB DA DC DA DB DA DC BC DC DB
=+=-+-=-+=-
则
()()
122AE BC DB DA DC DC DB
⋅=-+⋅- ，
2222111111222222DB DC DB DA DC DA DB DC DC DB DC DB =⋅--⋅+⋅+-⋅=-
又∵，即，
DB DC =22
DC DB = ∴．
0AE BC ⋅=
故选：D ．
7．椭圆的左顶点为A ，点P 在C 上且在第二象限，点P 关于x 轴，y 轴的22
22:1(0)x y C a b a b +=>>对称点分别为，Q ，直线的斜率分别为，若
，则C 的离心率
P ',AP AQ 12
,k k ()124
tan 3P AQ k k ∠=
+'为（ ）
A
B
C ．
D ．12
13
【答案】A
【分析】采用纯解析法，设，
，则
，由(,0)A a -()
11,P x y ()
11,Q x y -tan P AQ '∠=
结合斜率定义求出
，联立椭圆方程代换可求得
()tan tan()
P AO QAO PAO QAO ∠+'∠=∠+∠121
4k k =
与关系，进而得解.
2a 2b 【详解】，设，则
，则
，
(,0)A a -()
11,P x y ()
11,Q x y -11
1211,y y k k x a x a ==+-+因为tan P AQ '∠=
()tan tan()P AO QAO PAO QAO ∠+∠=∠+∠'=
，显然，()
121212tan tan 4
1tan tan 13PAO QAO k k k k PAO QAO k k ∠+∠+==+-∠∠-12
0k k +≠所以，故
，1214k k =21111222
11114y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+又，则
，所以
，
22112
21x y a b +=()
2
2
212
12
b a
x y a -=()22
212
221
1
4b a x a x a -=
-+即，所以椭圆C 的离心率22
14b a =c e a ===故选：A ．
8．已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则
,P Q 22
361x y +=90POQ ∠= (O 等于（ ）
2211
||||OP OQ +
A ．45
B ．9
C ．
D ．12
45324
【答案】B
【分析】令，，由题设可得、
11(,)P x y 22(,)Q x y 12120OP OQ x x y y +=⋅=
、，进而可得，进而化简
2211361x y +=22
22361x y +=22
2
212
1
2
1273x x x x -+=，即可得结果.
222222
1122
1111
||||OP OQ x y x y +=+++【详解】令
，，则，，11(,)P x y 22(,)Q x y 11(,)OP x y = 22(,)OQ x y = 由，故
，则，
90POQ ∠=
12120
OP OQ x x y y +=⋅=
1212y y x x =-而，，则，
，2211361x y +=22
22361x y +=2211
136x y -=2
2
22136x y -=所以，故，
2222
2222
12121212
13()936x x x x y y x x -++==222212121273x x x x -+=.
22122222222222211221212121218()111166||||131313()9()x x OP OQ x y x y x x x x x x +++=+=+=+++++++221222
12
9(19)
919x x x x -==-故选：B
二、多选题
9．对于曲线：，下列说法正确的是（ ）C 22
1
93x y k k +=--A ．曲线不可能是圆
C B ．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
39k <<C C ．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件C y 67k <<D ．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件C x 36k <<【答案】CD
【分析】由圆的方程的定义可判断A ，由椭圆的定义可判断BCD.【详解】当，即时，
93k k -=-6k =方程
为
，22193x y k k +=--22
3x y +=曲线表示圆心是A 错误；
C (0,0)
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