2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
数学（理科）
使用地区：河南、山西、河北、江西
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题  共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数z满足=i，则|z|=                                                （  ）
A．
B．
C．
D．
2．=                                            （  ）
A．
B．
C．
D．
3．设命题，，则p为                                        （  ）
A．
B．
C．
D．
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为        （  ）
A．0.648
2015高考时间
B．0.432
C．0.36
D．0.312
5．已知是双曲线上的一点，F1，F2是C的两个焦点.若，则的取值范围是                                                        （  ）
A．
B．
C．
D．
6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有                                                    （  ）
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
7．设为所在平面内一点，，则                            （  ）
A．
B．
C．
D．
8．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为        （  ）
A．
B．
C．
D．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出
的                                        （  ）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．的展开式中，的系数为            （  ）
A．10
B．20
C．30
D．60
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20，则                （  ）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．设函数，其中a<1，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是                                                        （  ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题  共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．若函数为偶函数，则________.
14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.
15．若x，y满足约束条件则的最大值为________.
16．在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
为数列的前n项和.已知，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中=，=
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x，y的关系为z=0.2y－x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，曲线与直线交于M，N两点.
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，.
（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线的切线；
（Ⅱ）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论零点的个数.
请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于点E.
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线：x=－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由，得，故，故选C．
【提示】先化简复数，再求模即可．
【考点】复数的运算．
2.【答案】D
【解析】原式，故选D．
【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【考点】三角函数的运算．
3.【答案】C
【解析】命题的否定是：．
【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【考点】命题．
4.【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为
【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【考点】概率．
5.【答案】A
【解析】由题知，，
所以，解得，故选A．
【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定的取值范围．
【考点】双曲线．
6.【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为，则所以米堆的体积为
故堆放的米约为故选B．
【考点】圆锥体积．
【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
7.【答案】A
【解析】由题知
【提示】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．
【考点】向量运算．
8.【答案】D
【解析】由五点作图知，解得，所以
令解得
故的单调递减区间为，故选D．
【提示】由周期求出，由五点法作图求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．
【考点】三角函数运算．
9.【答案】C
【解析】执行第1次，
，是，循环，执行第2次，
，是，循环，执行第3次，
，是，循环，执行第4次，
，是，循环，执行第5次，
，是，循环，执行第6次，
，是，循环，执行第7次，
，
，否，输出故选C．
【提示】由题意依次计算，当停止由此可得结论．
【考点】程序框图．
10.【答案】C
【解析】在的五个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取，故的系数为故选C．
【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论．
【考点】二项式展开式．
11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是，圆柱的高为2，其表面积为，解得r=2，故选B．
【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【考点】空间几何体的表面积．
12.【答案】D
【解析】设由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．
因为，所以当时，，当，
所以当时，．
当时，，直线恒过且斜率，故，且，解得，故选D．
【提示】设，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得且，解关于的不等式组可得．
【考点】带参函数．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】1
【解析】由题知是奇函数，
所以，解得
【提示】由题意可得，，代入根据对数的运算性质即可求解
【考点】函数奇偶性．
14.【答案】
【解析】设圆心为，则半径为，则解得，
故圆的标准方程为．
【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．
【考点】圆的标准方程．
15.【答案】3
【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点与原点连线的斜率最大，故的最大值3.
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【考点】线性规划问题．
16.【答案】
【解析】如下图所示：延长交于点，则可知在△中，，，设，，，，，
，，
而=
的取值范围是．
【提示】如图所示，延长交于点，设，，，，求出，即可求出的取值范围．
【考点】平面几何问题．
三．解答题
17.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，当时，==，即，因为，
所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；
（Ⅱ）由（1）知，，
所以数列前n项和为=．
【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求的通项公式：
（Ⅱ）求出，利用裂项法即可求数列的前项和．
【考点】数列前项和与第项的关系，等差数列定义与通项公式．
18.【答案】（Ⅰ）答案见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）连接，设连接，在菱形中，不妨设，
由∠ABC=120°，可得．
由平面，，可知，
又∵，
∴，
在中，可得，故．
在中，可得．
在直角梯形中，由，，，
可得，
∴，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴平面⊥平面．
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，
建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，，
∴，．
故，
所以直线与所成的角的余弦值为．
【提示】（Ⅰ）连接，设，连接，运用线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。