2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年四川，理1】设集合，集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】∵，，，故选A．
（2）【2015年四川，理2】设是虚数单位，则复数（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】，故选C．
（3）【2015年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】易得当时时执行的是否，当时就执行是的步骤，所以，故选D．
（4）【2015年四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】显然对于A，，为关于原点对称，且最小正周期是，符合题意，故选A．
（5）【2015年四川，理5】过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则（ ）
（A） （B） （C）6 （D）
【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，且右焦点，则直线与两条渐近线的交点分别为
，，∴，故选D．
（6）【2015年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个
【答案】B
2015高考时间【解析】这里大于40000的数可以分两类：
①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有种；
②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有种，
综上所述：总共有72+48=120种，故选B．
（7）【2015年四川，理7】设四边形 为平行四边形，，．若点，满足，，则（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过建立直角坐标系，可得到，，，∴，，∴，故选C．
（8）【2015年四川，理8】设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由已知条件可得．当时，．∴，即．∴“”是“”的充分条件．然而取则，满足，却不满足．∴“”是“”的不必要条件．综上“”是“”的充分不必要条件，故选B．
（9）【2015年四川，理9】如果函数在区间单调递减，则
的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】，由于单调递减得：∴，∴在上恒成立．设，则一次函数在上为非正数．∴只须在两个端点处和即可．即，
由②得：．∴．当且仅当时取到最大值．经验证，满足条件①和②，故选B．
（10）【2015年四川，理10】设直线与抛物线相交于，两点，与圆 相切于点，且为线段的中点． 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】设，，，则，两式相减，得：
，当直线的斜率不存在时，显然符合条件的直线
有两条．当直线的斜率存在时，可得：
，
又∵，∴，
∴
由于在抛物线的内部，∴，
∴，∴，因此，，故选D．
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2015年四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 ．
【答案】-40
【解析】由题意可知的系数为：．
（12）【2015年四川，理12】的值是 ．
【答案】
【解析】．
（13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系 （为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是________小时．
【答案】24
【解析】，，∴，
∴当时，，∴．
（14）【2015年四川，理14】如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点在线段上，，分别为，中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为
，则，，，，∴，
∴令
，，，从而．
（15）【2015年四川，理15】已知函数，(其中)．对于不相等的实数，，设，，现有如下命题：
(1) 对于任意不相等的实数，，都有；
(2) 对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
(3) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得；
(4) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得．
其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）．
【答案】(1) (4)
【解析】(1)设，,∵函数是增函数，∴，，则=>0，
所以正确；
(2)设，则，∴
不妨我们设，则，矛盾，所以(2)错．
(3)∵，由(1)(2)可得：，化简得到，
，也即，令，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，．则，，显然当时，恒成立，即单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误．
(4)同理可得，设，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，，从而不是恒为单调函数．，恒成立，∴单调递增，又∵时，，时，．所以为先减后增的函数，满足要求，所以正确．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2015年四川，理16】（本小题满分12分）设数列的前项和，且，，成等
差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和，求得使成立的的最小值．
解：（Ⅰ）当时有，，则，，
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列．
又由题意得，，∴，∴
（Ⅱ）由题意得，∴，则，
又，即成立时，的最小值为．
（17）【2015年四川，理17】（本小题满分12分）某市，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐3名男生，2名女生，中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设事件表示“中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：
（Ⅱ）由题意，知，；；
因此的分布列为：
期望为：．
（18）【2015年四川，理18】（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为．
（Ⅰ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
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