2015年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
数学（文科）
使用地区：河南、山西、河北、江西
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题  共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合,,则集合中元素的个数为                                                                        （  ）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．已知点，，向量=，则向量=                    （  ）
A（-7，-4）
B．（7，4）
C．（-1，4）
D．（1，4）
3．已知复数z满足（z-1）i=1+i，则z=                                        （  ）
A．-2-i
B．-2+i
C．2-i
D．2+i
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为    （  ）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=                            （  ）
A．3
B．6
C．9
D．12
6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有                 
                                      （  ）
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
7．已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则=    （  ）
A．
B．
C．10
D．12
8．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为        （  ）
A．
B．
C．
D．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的                （  ）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．已知函数且，则            （  ）
A．
B．
C．
D．
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则            （  ）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则                                                            （  ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题  共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．在数列中，，为的前n项和.若，则_____.
14．已知函数的图象在点处的切线过点，则_____.
15．若x，y满足约束条件则的最大值为_____.
16．已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为_____.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知，，分别是内角，，的对边，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若90°，且，求的面积.
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若120°，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
19．（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中=，=
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x，y的关系为z=0.2y－x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
20．（本小题满分12分）
已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若，其中O为坐标原点，求.
212015高考时间．（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时，.
请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，BC交⊙于点E.
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线：x=－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

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