专题07 射线法、设点法在圆锥曲线中的应用
解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主要有两种方法：一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设线法的不同．
一、题型选讲
题型一 圆锥曲线中的线段的关系
例1、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 求证：MR⊥PQ.
规范解答 (1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，所以e2＝＝1－＝，即a2＝2b2. (2分)
因为直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2，
所以点(2，1)在椭圆上，即＋＝1.
解得a2＝6，b2＝3，
所以椭圆E的方程为＋＝1.(6分)
(2)解法1(设线法) 因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为y＝kx＋m.
设 P(x1，y1)，Q(x2, y2) .
因为PQ的中点R在直线 l：x＝2上，故R(2，2k＋m)．
联立方程组
消去y，并化简得 (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0, (9分)
所以x1＋x2＝ .
由x1＋x2＝＝4，得1＋2k2＝－km.(12分)
因为M(1，0)，故kMR＝＝2k＋m，
所以kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k2＋km＝2k2－(1＋2k2)＝－1，所以MR⊥PQ.(16分)
解法2(设点法) 设P(x1，y1)，Q(x2, y2)．
因为PQ的中点R在直线 l：x＝2上，故设R(2，t)．
因为点P，Q在椭圆E：＋＝1上，所以
两式相减得(x1＋x2) (x1－x2)＋2(y1＋y2) (y1－y2)＝0.(9分)
因为线段PQ的中点为R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t.
代入上式并化简得(x1－x2)＋t (y1－y2)＝0.(12分)
又M(1，0)，
所以·＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0，
因此 MR⊥PQ.(16分)
用代数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法．对于本题而言，两种方法都可以，解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为－1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为0”结合，其实颠倒一下也可行．
例2、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证： OP⊥OQ.
(1) 由e＝＝，得a∶b∶c＝∶1∶1，用b表示a更方便；
(2) ①设直线l的方程为y＝k(x－)，由直线l与圆O相切可先求出k，再求出PQ的长即可．
②设l：y＝kx＋m，则只要证·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.联列直线与椭圆方程可得x1＋x2，x1x2均可用k，m表示．由直线l与圆O相切，可得k与m的关系式．
规范解答 (1) 由题意，得＝，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3.
所以椭圆的方程为＋＝1.(2分)
(2) ①解法1 椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．当k＝时，(4分)
由方程组
解得或
所以点P，Q的坐标分别为， ， ， ，
所以PQ＝.(6分)
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.
综上所述，△OPQ的面积为.(8分)
解法2 椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．当k＝时，(4分)
把切线方程 y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0.
设P(x2016江苏高考1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝.
由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×－×＝.(6分)
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积为.
综上所述，△OPQ的面积为.(8分)
②解法1 (i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，P (， )，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ.
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ.(10分)
(ii)若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2.
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝.(12分)
因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)×＋km×＋m2.
将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ.
综上所述，OP⊥OQ.(14分)
解法2 设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2.
(i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝或x＝－.
当x＝时，P (， )，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ.
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