第9讲 函数模型及其应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟) 一、填空题
1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；
④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能
的函数模型是________(填序号).
x45678910
y15171921232527解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函
数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案 ①
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有
①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故
①正确，③错误．
答案 ①
3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)
的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
解析 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，
t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
答案 10
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析 设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解
得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋
400(0＜x＜40)，当x＝20时，S max＝400.
答案 20
5．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过
8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器
中的沙子只有开始时的八分之一．
解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y＝a e－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24，所以再经过16 min.
2016江苏高考
答案 16
6．A，B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km h，B 的速度是
16 km h，经过________h，AB间的距离最短．
解析 设经过x h，A，B相距为y km，则y＝＝(0≤x≤)，求得函数的
最小值时x的值为.
答案
7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．
解析 设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，
则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平
均费用为y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝
21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
答案 10
8．(2016·四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝
0.11，lg 2＝0.30)．
解析 设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋
12%)x＝200，
∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213＝－＝＝＝3.8.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万
元．
答案 2019
二、解答题
9．(2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1
D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD
－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高
PO1的4倍．
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