空间观念的内涵、特征及建⽴要点
在⼩学数学的核⼼词中，“空间观念”⾃诞⽣以来名称从未变更，是教师⼗分熟悉的核⼼词之⼀。但⼀线的教师似乎更擅长能⼒的培养，如运算能⼒等，⼀旦定位为“观念”，不少教师觉得有些⽞乎，从内涵的解读到策略的探寻，因⽽“空间观念”也成为教师“最熟悉的陌⽣⼈”！尽管提出多年，但实际教学效果不容乐观，有必要引起重视，更好地落实相关课程⽬标。
本研究是针对延吉市职业⾼级中学《基础会计》教学⽽进⾏的。近些年来，到职⾼学习的⼤部分学⽣初中成绩并不好，普遍存在着厌学和⾃卑情绪，升⼊到职业学校后，他们对专业课学习不适应，⽆法尽快掌握专业课知识。但是他们也有优点，精⼒很充沛，思维活跃。所以，在该学校运⽤此教学法时要注意以下问题：
⼀、“空间观念”的内涵解读
（⼀）课标的诠释
教育部《全⽇制义务教育数学课程标准（实验稿）》认为：“空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出⼏何图形，由⼏何图形想象出实物的形状，进⾏⼏何体与其三视图、展开图之间的转换；能根据条件做出⽴体模型或画出图形；能从复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；
能描述实物或⼏何图形的运动与变化；能采⽤适当的⽅式描述物体间的位置关系；能运⽤图形形象地描绘问题，利⽤直观进⾏思考。”[1]
⼩流域是河流⽔系中的基本集⽔单元，⼤流域⽣态治理的规划与实施，需要以⼩流域为基本治理单元。把⼤流域分解成不同层次、不同类型的⼩流域，这些⼩流域是⼀个个相对独⽴的⽣态系统，也是⽣态环境受到不同程度⼈为影响的⼀个个单元。从⼩流域存在问题出发，遵循正确的⽣态治理理念和做法，可以把这些⼩流域从⽣态环境退化的单元改造成为⽔—⼟—⽓—⽣各圈层良性循环、⼈类与环境和谐共存的单元。⼩单元的活动可以形成⼤系统的变化，同样，⼀个个⼩流域的⽣态修复将最终达成⼤流域整体⽣态系统的功能恢复与提升。
教育部《义务教育数学课程标准（2011 年版）》修改为：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出⼏何图形，根据⼏何图形想象出所描绘的实际物体；想象出物体的⽅位和相互之间的位置关系；描绘图形的运动和变化；依据语⾔的描述画出图形等。”[2]
两种表述均从⾏为表现的⾓度陈述“空间观念”。“课标实验稿”的内容很丰富，涉及空间想象⽅⾯的表现，包括两种转换；动⼿操作⽅⾯的表现：制作与画图；空间分析⽅⾯的表现：复杂图形的分解、分析；空间描述⽅⾯的表现：描述运动变化、位置关系；⽤图形描述问题和直观思考，相当于课标的另⼀个核⼼词“⼏何直观”。相⽐⽽⾔，“课标2011 年版”的解释更为精炼、概括，意在突出重点、削枝强
⼲。在空间想象⽅⾯，增加了想象⽅位和位置关系，补充根据特征抽象出⼏何图形。这⾥的特征显然是指⼏何特征，“⼏何图形”应该包括平⾯图形、⽴体图形及其三视图与展开图。两种表述中的“想象”，都是以空间表象⽔平的再认、再现及联想为主，也都体现出这样的过程：从形象到表象，从表象到抽象，从抽象到形象，引领学⽣经历完整的“数学化”的过程。
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（⼆）相关的解读
美国新泽西州的数学课程框架认为：空间观念是对于图形和空间的直观感觉，它涉及传统的⼏何概念，例如对于⼏何图形的识别、想象、表征、变换的能⼒；也包含其他的⼀些⾮正式的⽅式去看待⼆维和三维的空间，例如折纸、变换、镶嵌、对称、投影等[3]。全美数学教师理事会（NCTM）在《学
校数学的课程与评价标准》中指出：空间观念是对⼀个⼈周围环境和实物的直接感知；对于⼆维、三维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要⽅⾯[4]。
国内，⼀些专家学者围绕“课标”中的解释，给出更为学术化的描述。王林全认为，学⽣的空间观念包含图形的识别与理解能⼒、图形的分解与组合能⼒、图形的建构与探索能⼒、对图形的运动与变换的欣赏和利⽤⼏何直观解决问题能⼒五个基本成分。其中，图形的识别与理解能⼒是空间观念的基础，图形的分解与组合能⼒是空间观念得以健康发展的基本条件，良好的图形的建构与探索能⼒是空间观念发展的标志，对图形的运动与变换的欣赏是空间观念逐步成熟的前提，利⽤⼏何直观解决问题的能⼒是空间观念成熟的标志[5]。刘晓玫认为，⼩学⽣的空间观念的成分与要素主要包含轴对称、旋转、⽅向与位置、视图四个⽅⾯，并将⼩学⽣的空间观念的发展划分为直观想象阶段、直观想象与简单分析抽象阶段、直观想象与复杂分析阶段三个⽔平[6]。
⼆、“空间观念”的基本特征
对“空间观念”的认知，除了对其内涵的深刻理解，还应当关注⼉童形成与发展“空间观念”的特征，体现主体与客体的双重推进。实践中，对“空间观念”特征的把握，有助于我们理性地⾯对教学中的得与失，继⽽寻出更为丰富有效的教学对策。
1.直观性
直观性是“空间观念”最基本的特征，也是学⽣形成与发展空间观念的起点与⽀撑。“空间观念主要是指根据物体特征……”从其内涵中可见：“形象的建⽴”与“适度地抽象”是“空间观念”培养的关键。⾸先，直观性体现于认识图形属性时的选择性层⾯。对直观性较强的属性学⽣容易感知，⽽那些不太明显的属性特征往往会被忽略。如长⽅形、正⽅形的各部分名称以及周长与⾯积的计算容易理解，⽽对圆的相关概念的理解困难许多，因为前者都是显现的，后者有些则是隐现的，以半径为例，在正式画出前，学⽣是看不见的，也是难以想象的。其次，直观性表现为解决相关实际问题的思维层⾯，学⽣更擅长图⽂结合类的题型，对于纯⽂字表述的问题理解困难。最后，“空间观念”的直观性还表现在学⽣对概念或性质的描述层⾯。低年级的⼉童对图形的描述通常会⽤⽇常⽣活的语⾔表述，如三⾓形学⽣会说成“三⾓”，正⽅形会表述为“⽅块”等。
2.过程性
过程性⾸先体现于学⽣的空间表象的建⽴，研究表明：学⽣的空间表象不是以他们的空间环境感觉读出的，⽽是从早些那些环境的活动操作中构造的，他们是依靠经验开始⼏何学习
并逐步形成空间观念的[7]。学⽣相关经验的积累是⼀个不断重建的过程。其次，“空间观念”相关内容的编排体现出过程性。以苏教版⼩学数学教材中的“平⾯图形”为例，教材分多次教学，低年级重点是从实物中抽象出图形，中⾼年级完成图形特征的认知以及⾯积与周长的计算，中间穿插图形的位置转换
等知识点，时间维度⼏乎跨越了整个⼩学阶段。类似的学⽣从⼆维空间进⼊到三维空间，从平⾯图到三维图也有⼀个过程。最后，课程⽬标的表述⽅式也体现出“过程性”的特征。“课标2011年版”在空间与图形课程⽬标的表述中，多使⽤“经历”“体验”“探索”等词汇，⽽这些都是描述过程性⽬标的词汇。
取纯培养的藻液20 µL置于⽆菌载玻⽚上，⽤结晶紫染⾊固定后在光学显微镜下观察微藻形态特征。参考《中国淡⽔藻类-系统、分类及⽣态》对微藻进⾏初步分类鉴定。
3.迁移性
数学知识的环环相扣与螺旋上升，使得迁移学习普遍存在。“空间观念”的建⽴中也是如此。⼀⽅⾯体现在⼏何概念的理解。如长⽅形、正⽅形、三⾓形、圆的周长，虽然在具体叙述时有⼀定的差异，计算公式有所区别，但本质都是指围成⼀个图形的所有边长的总和，这为学⽣后续的理解认知提供正向指引。另⼀⽅⾯，还体现在对⼏何图形的研究⽅式上。⽐如对⼀个图形的研究我们通常从它的边和⾓开始。当然，在实际的教学中，由于学⽣对“直观性”的偏重以及“标准样式”的依赖，我们也要注意“负迁移”的影响，⼩学数学中主要是⼆维图对三维图的影响。如“6 根⼀样长的⼩棒摆同样的三⾓形，最多能摆出⼏个？”学⽣往往想到的是⼆维图（图1），想不到三维图（图2）。
图1
图2
三、“空间观念”的教学要点
（⼀）加强两种直观
1.动作直观
动作直观通过实际的动作达到直观的效果。在⼩学图形与⼏何内容中主要包括实验活动（如图形的拼摆、折叠、测量等）与画图两种。实验活动丰富了数学课程的教学资源，关注了⼩学⽣的年龄特征与认知特征，是⼀种⾏之有效的教学对策，备受追捧。⽽作为学习⼏何的常规的直观⼿段，画图⾄今没有受到应有的重视。⼀⽅⾯，在⼩学阶段，“课标2011 年版”关于画图的⽬标设置⽐较单⼀，仅在第⼆学段提出：在⽅格纸上简单画图，会⽤圆规画圆、能画指定度数的⾓等；另⼀⽅⾯，在教学实践中，画图处于可有可⽆的地位，“平时⽤不着、⽤时想不到”。与实验活动相⽐，画图是对客观条件要求最低，能够“随⾝携带”的直观⼿段。教学中，需要注意以下三点：⼀是加强画法指导。教者应该将作图⽅法的讲解纳⼊教学的流程之中，适时、适度地讲解画法，可结合具体的题型，采⽤教师的板画的⽅式，呈现完整的作图过程。⼆是简化画图的过程。淡化⼀些形式化的东西，如画图⼀定要⽤直尺等，允许学⽣“画草图”，只要能表达出题意，反映出数量关系即可。三是感悟画图的价值。要精选合适的题型，让学⽣在问题解决中充分感受画图的价值，注重画图解题的习惯与意识的培养。
2.视觉直观
观察是智⼒活动的门户，是⼀种有思维参与的积极的感知活动。对于⼩学⽣⽽⾔，其观察能⼒的发展与空间观念的发展⼏乎⼀致，主要表现为：从感知强刺激成分到感知弱刺激成
怎么制作空间观察是智⼒活动的门户，是⼀种有思维参与的积极的感知活动。对于⼩学⽣⽽⾔，其观察能⼒的发展与空间观念的发展⼏乎⼀致，主要表现为：从感知强刺激成分到感知弱刺激成分；从认识单⼀要素到认识要素关系；从熟悉标准图形到熟悉变式图形。[8]视觉直观的呈现⽅式主要有静态和动态两种：静态的视觉直观价值主要在于提供参照、建⽴表象；动态的视觉直观则有揭⽰规律、建⽴联系等功能。在空间观念培养的教学中，⼀线教师存在偏静态轻动态的倾向，原因⼀是过⾼估计了学⽣的认知能⼒，⼆是动态呈现的前期准备相对繁琐，应该给予纠正。这⾥的“动态”应该是⼴义的，可以分为两类：⼀是多个元素的相互⽐照。如“长⽅形与正⽅形的认识”，教学中，借助⽅格纸出⽰两个完全⼀样的长⽅形，然后将其中的⼀个演变为正⽅形，观察⽐较两者的异同。⼆是同⼀元素的前后变化。如“圆的⾯积”教学，将⼀个圆若⼲等分，拼成⼀个近似的长⽅形，推导其计算公式。值得注意的是，⽆论是静态或动态，在视觉直观的基础上，⼀定要引导学⽣⽐较与归纳，体会其中的变与不变。当然，动作直观中必然有视觉的直观，视觉直观中也常常包含动作直观的成分。实践中，应该紧扣实质：通过直观，丰富学⽣的⼏何认知，促进空间观念的形成。
（⼆）注重两个结合
1.语⾔与形象的结合
在学⽣空间观念的培养中，语⾔是仅次于直观的重要⼿段。实质上语⾔是⼀种⽤符号表⽰的有⼀定法
则的形象系统。形象与语⾔在某种程度上是纠结在⼀起的，处于⼀种互补的关系之中。两者的结合，能够促进学⽣对表象的建⽴。实践中，⼀⽅⾯要突出⼝头语⾔对形象的表征。如“认识三⾓形”，出⽰⼀组图形，让学⽣判断哪些是三⾓形。在这个过程中，可以引导学⽣说说这样判断的理由，以突显三⾓形的本质特征。值得注意的是，在学⽣表述的过程中，教师应该恰当指导，适时引⼊⼏何语⾔同化、矫正⽇常⽤语。以“平移和旋转”为例，在描述位置关系时，学⽣的说法可能较多，教者要引导学⽣表述为：“绕（）点，（）时针⽅向，旋转（）度。”另⼀⽅⾯，要注重书⾯语⾔对形象的定性。即出⽰图形时，要配以适当的⽂字说明。如“长⽅形的⾯积”，出⽰⼀组长⽅形，习惯⽤语是“求下列图形的⾯积”，其理由是⼩学⼏何是直观⼏何，允许学⽣“看出像什么，就是什么”，理所当然但值得商榷，应该准确地表述为“求下列长⽅形的⾯积”，有意识地语⾔介⼊，会帮助学⽣逐步摆脱单纯的直观依赖。
你说交通拥堵，给你限号了；你说油不合格污染空⽓，给你把油价涨了；你说房价太⾼买不起，给你征税20%了；你说国产奶粉是垃圾，给⾹港下禁令了；你说出租车不好打，给你把车价涨了……
2.数值与图形的结合
传播学视⾓下华语电影的外译策略 …………………………………………………………………… 郑蕴蓉（75）
“数形结合”包含两⽅⾯的转化：⼀是从数量的解读到图形的解读，以形助数；⼆是从图形的解读到数量
的解读，以数解形。⼩学数学的教学中，前者运⽤较多，即在图形的辅助下，化抽象为直观，实现规律的寻觅与解法的探究。但在图形与⼏何领域的教学中，我们既需要对图形以及位置关系等进⾏定性的刻画，⼜离不开定量的刻画。在空间观念的培养中，数与形的结合其价值主要表现在以下两个⽅⾯：⼀是降低空间想象的难度。如“⾯积单位”总复习，有这样的习题：⼀间舞蹈房的地⾯⾯积⼤约40（）。要求在括号⾥填⼊合适的⾯积单位，教学中有⼀定的难度，个别学⽣正确填空后，仍然⽆法确定，因为学⽣脑中有1平⽅⽶的表象，40平⽅⽶有多⼤，即使成年⼈也不⼀定能够想象。这时，我们可以进⼀步丰富数值，根据长⽅形⾯积=长×宽，将“40”拆分为两个数的积：40×1，20×2，10×4，8×5，然后引导学⽣展开想象。⼆是提升空间推理能⼒。如“⽤12 个边长1 厘⽶的⼩正⽅形，拼成⼀个长⽅形，有⼏种拼法？拼成的长⽅形周长、⾯积各是多少？”由于数值的参与，题⽬的内涵深刻许多，在拼组与计算的过程中，学⽣会发现：⾯积⼀定，当长、宽越接近时，周长越⼩，反之也成⽴。同样的逻辑在⽴⽅体的相关题型中⼀样具备。事实上，在⼩学数学的教学中，“数形结合”既是⼀种数学思想，同时也表现出⼀定的教学法的意义。
（三）化解两种障碍
1.前概念障碍
⽣活中，学⽣对于线、体、⾯的⼤⼩、长短以及位置关系等有着⼴泛的接触，前概念的影响明显。⼀
⽅⾯来源于先⼊为主的⽇常⽣活经验。以“线段、射线、直线”的认识为例，在⽣活中，线段是学⽣接触最多的，如物体的边沿等，⽽射线、直线很少见（尤其是直线⼏乎见不到），学⽣很难想象，直线、射线可以⽆限延伸、⽆限长，在学⽣的认知中，只要是直的线就是直线。即使对于线段，所见到的也没有端点，因此，学⽣经常忘记标记线段的两个端点，⽆法确信直线和射线的长度⽆法⽐较等。另⼀⽅⾯来源于语词带来的曲解。如“⾓的认识”，在学习这⼀⼏何概念前，学⽣已有的经验是语⽂学科教学中的“墙⾓”“桌⾓”“⽜⾓”“⽺⾓”等，并且学⽣知道，⽜⾓⽐⽺⾓⼤。因⽽，在教学⾓的⼤⼩与边的长短的关系时，学⽣困难重重。此外，教学中，标准图形的过渡强化也容易产⽣⼲扰，⽐如“等腰三⾓形”，教材给出的多为顶⾓在上、底边⽔平放置的图形，这样的图⽰，有利于结合⽣活经验理解概念（腰、顶⾓、底⾓），但过渡的强化，往往使得学⽣在⾯对倒⽴或者斜放的等腰三⾓形时，⽆法判断相关概念。⾯对学⽣的前概念，教学中，教者应该适时地引⼊相关⼏何概念的⽣活原型，注重变式（形体位置等）练习，在对⽐中强化概念的教学。
2.知觉障碍
2.3 绘制NLR和LMR预测甲、⼄型流感病毒的ROC曲线 NLR、PLR和LMR三个⽐值中，PLR与甲型或⼄型流感病毒的相关性最⼩（OR接近1.000），因此本研究只绘制NLR和LMR 的ROC曲线，见图1。得到NLR和LMR的ROC曲线下⾯积分别为 0.939（95%CI：0.906～0.973）和 0.980（95%CI：0.959～1.000），根据ROC曲线，NLR最佳截断值为2.9，其敏感性和特异性分别为88.3%和91.9%。LMR
最佳截断值为2.8，其敏感性和特异性分别为9
3.2%和97.0%。
从知觉层⾯看，以下两种障碍影响着学⽣空间观念的形成：⼀是空间识别障碍，是指对物体的形状、长度、⾼度、⼤⼩以及位置关系等的识别障碍。这⼀障碍也体现出学⽣空间识别能⼒发展的阶段性，如⼩学低年级学⽣对于⽐较近的对象有⼀定的识别能⼒，⽽对于⽐较远的对象识别困难。再如两个⼤⼩不同的正⽅体，起初学⽣只能进⾏定量的判断，谁⼤谁⼩，随着认知能⼒与⽔平的积累，学⽣逐渐可以进⾏定量的刻画，⼤⼀点还是⼤得多？两者⼤约是⼏倍的关系等。当然，空间识别能⼒在学⽣个体发展中具有差异性，有的学⽣发展得⽐较快，稍加练习即可，有的学⽣则需要多次训练、不断强化。⼆是视觉知觉障碍。主要表现为：不能积极⽽有效地运⽤视觉知觉符号与⼤脑中储存的图式与概念建⽴联系[9]。如观察长⽅体，学⽣会习惯性地猜摩它的原型（是⼀个什么物品的包装盒）、⼤⼩、颜⾊等。⽽不能联结“长”“宽”“⾼”“棱”等概念，⽆法建⽴“表⾯积”“体积”等表象。在⾯对具体的问题情境时，熟知表⾯积、体积的计算公式，可能还会⼗分困难。事实上，知觉障碍不仅存在于学⽣的学习中，成年⼈同样具有。教学时，⼀⽅⾯要基于直观也要超越直观，及时地抽象；另⼀⽅⾯，要引导学⽣经历完整的“数学化”的过程，学会⽤数学的⽅式观察思考等，从⽽巧妙化解上述障碍。
综上所述，“空间观念”的建⽴有其⾃⾝的特征。⼩学⽣“空间观念”的培养需要⽴⾜⽣活的原型，也需要
⼀定的想象能⼒。教学中，应该直⾯学⽣的认知障碍，引领学⽣多种感官的参与，注重教学⽅式的丰富性，以促进学⽣“空间观念”的发展与提升！▲
参考⽂献：
[1]中华⼈民共和国教育部.义务教育数学课程标准：实验稿[S].北京：北京师范⼤学出版社，2001.
[2]中华⼈民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范⼤学出版社，2011.
[3] New Jersey Mathematics Coalition.New Jersey mathematics curriculum framework[EB/OL].[2017-06-
01].http：//dimacs.rutgers.edu/nj_math_coalition/framework/ch07/ch07_toc.htm1.
[4]全美数学教师理事会.美国学校数学课程与评价标准[S].⼈民教育出版社数学室，译.北京：⼈民教育出版社，1994．
[5]王林全.空间观念的基本构成与培养：兼谈美国如何发展学⽣的空间观念[J].数学教育学报，2007（10）：24-27．
[6] 刘晓玫.⼩学⽣空间观念的发展规律及特点研究[D].长春：东北师范⼤学，2007.
[7]韩龙淑，吕传汉.空间观念的含义和特征及其教学策略[J].数学教育学报，2010，19（6）：20-22.
[8]曹培英.⼩学⽣空间观念的形成与发展有什么特点[J].⼩学数学教育，2010（4）：1-4．
[9]潘⼩明.⼉童空间观念的发展与培养[J].教育实践与研究（A），2010（12）：35-38.
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