2010年江苏高考数学真题及答案
参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=
1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2
+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3∈B, a+2=3, a=1.
2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜不同的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。316
2
p ==
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。
[解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(e x
+ae -x
)(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x
+ae -x
为奇函数，由g(0)=0，得a =－1。
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112
42
2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双
曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。
4
22
MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______
[解析]考查流程图理解。2
412223133,+++
+=<；输出25122263S =++++=。
8、函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a k ,a k 2
)处的切线方程为：2
2(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2
k
a x =， 所以1135,1641212
k
k a a a a a +=
++=++=。 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42
2
=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
||
113
c <，c 的取值范围是（-13，13）。 10、定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛20π,
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=
23。线段P 1P 2的长为23
11、已知函数2
1,0()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__▲___。
[解析]
考查分段函数的单调性。2
212(1)10
x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩ 12、设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y
x 的最大值是 ▲ 。[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
22()[16,81]x y ∈，2111[,]83
xy ∈，322421
()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43y x 的最大值是27。
13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b
a C a
b +=，则t a n t
a n t a n t a n C C
A B
+
=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。 当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =
，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+
，tan 22
C =，
1tan tan tan 2
A B C
==
=tan tan tan tan C C
A B
+= 4。 （方法二）22
6cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=
2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C
A B C A B C A B C A B
+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理，得：上式=222
2
2214113cos ()662
c c c c C ab a b =
⋅===+⋅
14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2
(S =
梯形的周长）
梯形的面积
，则S 的最小值是____▲____。 [解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为x
，则：22
2
(3)(01)1x S x x -==<<- （方法一）利用导数求函数最小值。
22(3)()1x S x x -=-
，2222
(26)(1)(3)(2)
()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-
222222
(26)(1)(3)(2)2(31)(3)
高考满分900
(1)(1)x x x x x x x x -⋅---⋅----==-- 1
()0,01,3
S x x x '=<<=，
当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<；递减；当1
[,1)3
x ∈时，()0,S x '>递增；
故当13x =
时，S
的最小值是3
。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令111
3,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈
，则：222186681t S t t t t
==-+--+-
故当1
31,83x t ==时，S
的最小值是3
。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则
(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=
所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=
故所求的两条对角线的长分别为
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:
E 为B 、C 的中点，E （0，1）
又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=AD= （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。 由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115
t =-
。 或者：2
· AB OC tOC =，(3,5),AB =2
115||AB OC t OC ⋅==-
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900
。 (1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空
间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。
由∠BCD=900
，得CD ⊥BC ， 又PD
DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，
所以BC ⊥平面PCD 。
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC 。
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。
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