一九七九年（理科）
一．（本题满分6分）
若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x,y,z 成等差数列。 证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y 2
=(z+x-2y)2=0
∴2y=x+z，所以，x,y,z 成等差数列。 二．（本题满分6分）
x x
x x tg x
ctg x
22
2222csc sin 1
csc 111111111111:.
csc 11
11
11:
==-
=+-=--
-=--
-原式解化简
三．（本题满分6分）
甲，乙二容器内都盛有酒精。甲有V 1公斤，乙有V 2公斤。甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ，乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2。问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？
四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理。 证：略。 五．（本题满10分）
外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域。设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β。问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β ∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）。 当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥D
S
时，应
向外国船发出警告。 六．（本题满分10分）
设三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角。
P
A B
纯酒精与水之比为
混合后公斤
甲乙共含水
高考满分900公斤
甲乙共含纯酒精
公斤含水公斤乙中含纯酒精
公斤含水公斤甲中含纯酒精解,))(()
()())(()()()
(),(),
(),(:22111122221122221111221111222211222211112
22222221
1111111n m n m n m v n n m v n n m v n n m v n n m n m n m v m n m v m n m v m n m v m n m v
n n m v m n m v
n n m v m +++++=++++++++=+++++++)]
()([:)]()([1122221111222211n m v n n m v n n m v m n m v m ++++++
求证：△ABC 是锐角三角形。
证一：设VA=a ，VB=b ，VC=c ，AB=p ，BC=q ，CA=r 。
于是p 2=a 2+b 2, q 2=b 2+c 2, r 2=c 2+a 2。 由余弦定理：
同理，∠ABC ，∠BCA 也是锐角。
证二：作VD ⊥BC ，D 为垂足。因VA 垂直于平面VAC ，所以 VA ⊥BC 又BC ⊥VD ，所以BC 垂直于平面VAD ，从而BC ⊥AD 及在△ABC 中，A 在BC 边上的垂足D 介于B 和C 之间。因此， ∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 也是锐角。 七．（本题满分12分）
美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1，可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足
100（1+X)40=500，即（1+X)40=5. 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.
又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x，则有
x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四。 八．（本题满分12分）
设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 。求证：33
AC
BC AE BF =
证：连接CD 。因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，
B
C
E F B
.
2)(cos 2
2
2
2
2
2
2
2
2
222222为锐角CAB a
c b a a a
c b a c b a c b a CAB ∠∴>+⋅+=
+⋅++-+++=
∠
又AB 切圆O 于D ，
∴CD ⊥AB 。又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900， ∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA 。
(1) .2
2AC BC AD BD =∴ 又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE 。
(2) 2
2AE AC BF BC AD
BD ⋅⋅=∴
由（1）与（2）得
3
34
4AC
BC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=
⋅⋅ 九．（本题满分14分）
试问数列)4
sin 100lg(,),4
sin 100lg(),4
sin 100lg(,100lg 12π
π
π
-n 前多少项
的和的值最大？并求这最大值。（lg2=0.301) 解：该数列的第k 项为：
2lg )1(2
1
2)4sin 100lg(1
--==-k a n k π
所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2。要使前k 项的和
最大，必须前k 项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数。
因此，k 应适合下列条件： 十．（本题满分18分）
设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h 。
.30.143010.02
91
2814214,1414,2.13)2(2.14)1(:(2)
,02lg ]1)1[(21
2(1) ,02lg )1(212141≈⨯-=⨯+=
==∴∈>≤⎪⎩
⎪⎨⎧<---≥--a a S k k N k k k k k 项的和前取又得由得由解此不等式组
1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|P
D|·|PF|=|PE|2。求P 点的轨迹。 2．在上述轨迹中定出点P 的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|。 解：设OP 与正X 轴的夹角为α，则
Y A
x
tg y x y y y x h y x y x x h y x PF PE PD OA A A h E A E h E O OA E A A h h h y h x h y x h x h y hx x x h y x PE PF PD y x OP OP PF y x OP OP PD y x OP ⋅θ=
θ=θ∴θ=θ-θθ
=θ+θ+θ=-+θ-θ=+θ
θ
=''θ='⊥'θ
θ
θθ
θ=+θ-=θ
++θ-≠θ=+θ+-θ-=θ-θ=⋅θ
+θ=αθ+αθ=α+θ=θ-θ=αθ-αθ=α-θ=+=51,sin cos 5cos 4cos sin )2(),1()2cos h
(0,
(h,0)(2) .cos 2cos sin cos sin .2.,,.cos sin .cos .:.
cos sin ,)0,cos ()cos sin ()cos (0cos cos 20cos 0cos 2cos (1) ,)(cos sin cos sin )sin cos cos (sin )sin(cos sin )sin cos cos (sin )sin(.
2222222222222222
2
222
2222
222222222222
22得由点点及此直线通过即得
由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆
是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分
所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得
除以即得
由条件
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