用数学方法寻飞机残骸
我
们知道，当飞机不幸失事，寻飞机残骸和黑匣子就
成了当务之急。如果飞机坠入大海，黑匣子藏匿在大海里，那将给搜索工作带来极大的麻烦。
据统计，自1948年至今，全球共有80架航班彻底失踪，就这些飞机最后一次与地面联系的位置来看，它们中近六成消失在海上。毫无异议，这些飞机应该是失事了，只是在茫茫大海中到残骸的难度太大，导致它们的葬身之地成为永久的谜。
不过，在面对这种困境时，搜救人员可采用统计学上一个叫“贝叶斯”的方法来缩减搜索范围。
小球扔出贝叶斯方法
18世纪40年代，苏格兰著名哲学家休谟提出一个观点，认为人们使用归纳法寻求自然现象之间的因果联系只是人们养成的习惯，并不意味着这里面必定有着因果关系。举个例子，当有人连续100天看到，公鸡一叫，太阳就升起来，就以为太阳是公鸡唤起的；并以归纳法推而论之，公鸡第101天鸣叫，太阳也必定会第101次升起。殊不知，公鸡叫和太
阳升起之间并没有因果关系。比如在阴雨天，任凭公鸡怎么叫，太阳都不会露脸。休谟认为，我们迄今的所有认识都是建立在归纳法基础上的，而“以归纳法来认识世界并不科学”。
一石激起千层浪，他的观点当时在社会上引发很大的争议，也引起了一位业余数学家托马斯·贝叶斯的研究兴趣。
贝叶斯决定使用数学来验证“以归纳法来认识世界是否科学”。他设想了一个思想实验：假想有一张台球桌，以及一颗白球和许多红球。这些球投在桌面，不会弹跳，也无法掉下桌去，只能在桌面有限地滚动。球和球之间也不会相撞。一颗球停在桌面任何位置的概率是均等的。
设想一名助手帮着投球，在实验中，贝叶斯本人则蒙上眼
睛，不能看桌面上的情形。助手先将白球投掷到桌面，接下去投出一颗颗红球，每投一次，就报出红球相对白球的位置，贝叶斯根据听到的情况进行猜测。比如，当助手报出“红球在白球左侧”，贝叶斯会猜测“白球在桌面右侧”。随后助手继续扔红球并报告两球相对位置，贝叶斯继续猜测白球的位置——如果第二个红球落在白球右侧，贝叶斯则会猜测“白球在桌面右侧，但不会处于右侧边缘”。做这个猜测的道理是显然的：如果白球处于桌的右侧边缘，那么白球和右侧桌沿之间的空间已经很小，再塞进一个球的概率是很小的。
这样，相比第一次，贝叶斯对白球位置的猜测更准确了。而台球桌面积有限，随着投出的红球数量增加，白球位置的范围越
用数学方法寻飞机残骸
吴治华/文
2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司的MH370航班在南海上空神秘消失，直到今天仍然没有到它的踪迹。
科学人文
来越窄，尽管贝叶斯无法得出白球的具体位置，但由于获得大量新信息，他对于白球位置的判断越来越精准，最后锁定白球最有可能在桌面上的范围。比如，在一个极端的情况下，如果所有红球都落在了白球的左侧，那么他就可以推断，白球位于桌面右侧边缘。
贝叶斯想通过这个思想实验证明，随着获得越来越多的新信息，我们对事实最初的猜测会逐渐得到修正和完善，越来越接近真相——所以休谟的观点不正确，通过归纳是可以认识世界真相的。贝叶斯的结论可以用一个公式来表达：
初始猜想+最新的客观数据=一个新的改进了的猜想。
然后，当又有新数据出现时，我们把上轮“改进了的猜想”当作“初始猜想”，迭代到公式中，形成一个更新的猜想，如此周而复始。这个方法现在被称为“贝叶斯方法”。
正概率和逆概率问题
贝叶斯对数学的最大贡献就是解决了如何计算逆概率问题。而这个逆概率，正是关切搜寻失事飞机的一个重要的数学问题。那么，什么是逆概率？
正概率问题是知道了原因，推测发生某个结果的概率。而逆概率问题则反过来，知道了结果，要倒推原因。如果原因有很多，我们要给出各种原因的概率。比如一个正概率问题是：“假设袋子里面有4个白球，6个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大？”如果反过来问：“如果事先不知道袋子里黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取
出来的球的颜之后，我们对袋
子里面黑白球的比例能做出什么
样的推测？比如说，猜对黑白球
比例的概率有多大？”这就是一
个逆概率问题。
再举一例。小红是一名爱美
的女孩，夏天晴朗的天气都要打
伞。现在正概率问题是：“下雨天
小红打伞的概率有多大？”毫无
疑问，这个概率几乎是100%。而
逆概率问题则是：“如果看到小
红打伞，那么这一天下雨的概率
有多大？”显然，这一天是雨天的
概率不可能是100%，因为那一
天也有可能是夏天里某个晴朗的
日子。
由此可见，正概率跟逆概
率不是一回事。不过，两者是有
联系的，这个联系就是贝叶斯公
式。除了贝叶斯公式，上一小节提
到的贝叶斯方法对于解决逆概率
问题也密切相关。为什么这么说
呢？我们还是以猜黑白球的游戏
为例来说明。
我们先把问题表述得清楚一
点：“假设袋子里，有10个球（6个
黑球，4个白球），分属黑白2种颜
，但你对黑白球的比例一无所
知。现在，让你连续摸3次，每次
只能摸1个球，那么，你猜对袋中
黑白球比例的概率有多大？”
在摸球之前，让我们先来看
看，黑白两种颜的10个球可能
有哪些比例。这些可能会出现的
比例是0:10，1:9，2:8，3:7，4:6，
5:5，6:4，7:3，8:2，9:1，10:0，总
共11种可能。因为我们事先对黑
白球的比例一无所知，所以一个
很自然的假设是，每一种比例出
现的概率是均等的。那么，猜对
正确答案6:4的概率只有1/11。
现在，让我们开始摸球。假
设第1次摸到的是1个黑球。摸到
之后，我们就想：袋子里黑球的
数目至少不能少于1。那么，在上
面那些比例中，黑球少于1的比例
就可以排除了。所以，排除0:10。
余下的10种比例，出现的概率还
是均等的，所以现在猜对的概率
是1/10。
若第2次摸到的是1个白球，同样的道理，10:0这个比例予以排除，那么现在猜对的概率上升为1/9。
继续摸。若第3次摸到1个白球，那么，我们由此可推之，袋中白球的数量不能少于2个。黑白球9:1这种情况可予以排除。现在猜对正确答案的概率为1/8……摸的次数越多，猜测越接近真实。但如果只准摸3次，那么我们就只能止于这样一个猜对概率为1/8的结果。尽管离真实的情况还有一段距离，但总比最初1/11的概率更接近于1（概率为1，代表你完全猜对了）。
在现实世界，不确定因素很多，而人类的观察能力是有局限性的，不可能把所有有用的信息都搜集到（就好比猜黑白球的例子中，只允许从袋子中摸3次球），这时就需要大胆猜测。而猜测同样具有不确定性，很可能有多种猜测都能满足目前的观测，但我们可以利用贝叶斯方法不断更新猜测，以求接近真相。
与猜黑白球的游戏类似，飞机失事也是一个典型的逆概率问题。导致飞机失事的因素很多，有恶劣气候、飞机机械故障和飞行员操作失误等等。当问“在恶劣天气下，飞机失事的概率有多
大？”这是一个正概率问题。但
现在，在飞机失事已成铁板钉钉
的事实的情况下，问“有多少概
率是由恶劣气候造成的，有多少
概率是由机械故障引起的？”这
就是一个逆概率问题。我们要做
的，就是出符合当前情况的最
大可能因素。知道了飞机失事的
最大可能原因，才好缩小搜索范
围。
用贝叶斯方法到法航447
贝叶斯方法在现实中应用非
常广泛，从经济金融领域到人工
智能，所有需要做出逆概率预测
的地方都可以见到贝叶斯方法的
影子。保险公司用它来设定保险
费率；著名的美国智囊团兰德公
司用它来预测发生核战争的概
率；人工智能专家用它来教机器
人识别图像；在二战期间，英国
数学家图灵用它破获了德国海军
的通讯密码，为奇袭德国潜艇立
下赫赫战功。由于飞机、舰艇的
失事是逆概率问题，所以搜索领
域是贝叶斯方法的强项。
在20世纪60年代，美国数学
家利用贝叶斯方法为美国军方先
后到了遗失在海底的一枚
和核潜艇“天蝎号”。在近半个
世纪后，在2011年贝叶斯方法再
次大显身手。这次，它到了牵
动全球关注、失踪近两年的一架
客机——法航447。
2009年5月31日晚10点，法
航447由巴西里约热内卢起航，
飞往巴黎。凌晨2点，客机不慎钻
进南北半球交界处雷电密集的危
险云层，随后神秘消失。失踪5天
后，飞机碎片在大西洋海面被发
现，但坠毁原因只能等到黑匣
子才能回答。
你可能认为，到了碎片就
会很容易到飞机的其余部分，
但事情并不是那么简单。因为这
段时间里，碎片会随着洋流在海
上漂移。能模拟碎片如何漂移的
软件当然也有，但在这个例子中，
飞机坠毁地点靠近赤道，这里以
涌动的不可预测的洋流著称，尤
其在一年中的五六月。
美、法等国的航空部门联
手，动用了当时最新的技术，然
而在飞机失踪一周后，仅到少
量残骸碎片和29具遇难者遗体。
由于被圈定的搜索海域广阔，并
且海底地形复杂，此后近两年
的艰苦搜索中，他们竟然再无斩
获。在这种情况下，法国航空事
故 调查局向一有着丰富搜索经
验的美国统计学家求助。于是，
高级分析师克伦·凯勒带着她的
团队飞抵法国，协同搜索。
他们为此次飞机失事建立一
个数学模型。模型的数学基础就
是贝叶斯方法。它允许你同时评
估各种导致失事的原因的概率，
还可以根据得到的新信息，轻松
改进模型，给出更准确的答案。
法国航空事故 调查局已经做
了大量的工作，手头积累了很多
有关过去航空事故的历史数据和
这次搜索得到的新数据。凯勒和
她的同事仔细查阅了资料，为每    研究人员应用数学方法，在
茫茫大西洋中到了失踪的法航
447飞机的残骸。
科学人文
文既震惊又痛苦。给了自己科学界的一位朋友，压下自己的成果，再三劝说之下，年轻人的论文一起公开出来。的起源》出版了的崇高荣誉，而那位与他几乎同时提出进化论的年轻人，却被后人不公正地遗忘了这
是科学史上众所周知的一段佳话。话说1836年达尔文环球考察归来后，萌生了进化的思
想；在此后的20多年里，一直在忙于思考和收集资料；那本划时代的巨著《物种的起源》，也才写到一半。一天，一位年轻人寄来一封信。随信附着一篇论文。这位年轻人在论文表述了与他相近的物种进化的思想，请达尔文审稿，并帮忙发表。看到自己准备了20年的理论，竟被人抢在了前头，达尔
一个数据设置了可信度。然后，团队在地图上把搜索海域划分成一个个小格，他们要根据模型，计算每一小块区域可能到失事飞机的概率。
而为了计算出这些概率，他们首先需要看看导致飞机失事的各种原因。例如，他们评估了发生各种机械故障的原因，并为每一种可能发生的机械故障设定一个概率。然后，他们还查阅了过去飞机失事的历史资料，比如说，他们注意到，飞机失事地点往往跟它们最后一次现身地点很近。他们还要把已搜索过的区域的概率降低。
最后，在综合所有数据之
后，通过模型，他们终于计算得到一张概率分布地图。在图中，哪块海域的概率最大，是一目了然的。搜寻队马上被派往概率最大的海域搜索。
但很遗憾，他们没有发现飞机的踪迹，凯勒和她的团队沮丧地离开了法国。数月之后，法国方面请求他们回去对数据再分析一次。这一次在分析的时候，凯勒和她的同事对当初的一个假设起了疑心。
历史记录表明，在空难中，90%的情况下，黑匣子都会发出信号。但在这次事件中，在失事之后，搜寻队立马赶到飞机最后的现身地点，希望能够听到黑匣
子发出的信号，却一无所获。这使得凯勒把这块已搜索过的海域的概率设得非常低，而这块海域后来发现正是飞机藏身之所在。
是不是黑匣子损坏了，根本就没有发出信号呢？
凯勒把这一新的可能性考虑进去，重新用模型计算，算出概率最高的海域。然后搜寻队再次被派去搜寻，这一次，果然到了飞机残骸。
飞机残骸和黑匣子到后，这次空难的谜底也就解开了：空难是因为飞机遇到大西洋上空的恶劣天气，仪表失灵，飞机失去控制所致。而且在坠下来时，偏偏黑匣子也损毁了，没发出信号。
进化论创立者遗体残骸是什么意思
华莱士

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