浅显易懂地科普黎曼猜想是什么
浅显易懂地科普黎曼猜想是什么
其实我的有很多内容想写，但是最近没什么时间，写一篇文章要花不少时间。所以一直没动笔，今年年底应该会多更新一些。一般我是懒得追踪热点来写文章的，这次破例，追一下热点。
这篇文章尽量浅显易懂，但是猜想还是会有很多人觉得烧脑。但是如果太简略又没啥意思了。大家如果不想看细节，可以略过一些具体描述。
这几天传来消息：著名数学家迈克尔，阿蒂亚爵士生成自己证明了黎曼猜想，要在9月24日公开宣讲证明过程。我猜想如果黎曼猜想真的被证明，黎曼猜想这个名词将会像前几年的引力波被发现事件一样会被朋友圈刷屏。那么黎曼猜想到底是什么东西呢。下面跟大家科普一下。
黎曼猜想被誉为数学猜想的皇冠。著名数学家黎曼在1859年提出了这个猜想，1900年这个猜想被列为希尔伯特的23道世纪数学难题，2000年被列为千禧年7大数学难题。这个数学猜想非常重要，因为有几百甚至上千个数学命题都是以假设黎曼猜想为正确的基础上做出的。如
果黎曼猜想被证明为真，那么几百上千个数学命题都将荣升为数学定理。如果黎曼猜想被证伪，那么这些命题也将被证伪。
那么到底黎曼猜想说的是什么呢？
一黎曼提出了一个著名的黎曼zeta函数。（如图）记住这个函数，整篇文章将会围绕这个函数来展开。
（图1）
这个函数不难理解，其实跟我们中学学的函数方程y= f（x）只是换了字母代码。
等式左边那块可以看作是函数值y，s可以看成是x，比如当s 取1 的时候，就变成1+1/2+1/3+1/4 按这个规律一直无限加下去。
Zeta函数中，s是可以取复数的。也就是 a+bi的形式。i是复数单位，i的平方等于-1.这个大家高中肯定学过。
一个数的复数次方需要用到复分析知识，一个数的i次方，大家大概可以想象成在一个复数
坐标系里旋转一定角度。不理解也不重要。
这个函数本来的定义域是s的实数部分要大于1的。S大于1时，任何一个s值都可以对应一个zeta 函数值。
二． 当s 取小于等于1 的值时，zeta函数本来是无解的，比如s取-1 时，自然数的-1次方就是倒数。比如1/2的-1次方变成2。那么s取-1次方时，zeta函数变成1+2+3+4 一直无穷加下去。这是个无穷大的值。大家要注意，数学上无穷大不是一个数，无穷大的数被认为是无法定义的。同理当s取小于等于1的值时本来是无法定义的。所以s定义域为大于1.
三．我们中学学过一个方程函数如果给定一个x值，那么必定有一个唯一的y值对应。如果我们对s在定义域的所有值对应于zeta值做一个坐标系的变换，可以得出下图（图2）这个漂亮曲线的红部分。注意只是红部分，蓝部分不是。红部分所有线段都是s变量的坐标系在zeta函数的坐标系的变换投影。仔细看在s等于1 那里有一个很亮的红点，在那里有无数s值对应的zeta值塌缩成一个奇点。因为s必须大于1，s等于1本身也是无法定义的。而且我们可以看到这个zeta函数的图在s等于1的上方戛然而止，突然中断了。
（图2）
（红部分是s值到zeta函数的变换的曲线。蓝是在s的定义域外解析延拓得到的图）
图是从grendz下载的
什么是自然数四 数学家想了一个办法，把被定义域问题中断的漂亮的曲线延续到另一边。这种办法叫做解析延拓。拓展开的另一部分就是上图左边蓝部分。这种解析延拓有一个条件，它必须总是可以微分的，总是可以微分的意思就是不管怎么变换，原来坐标系里的角度要和新坐
标系的角度保持一致。为了能保证这个条件，那么左边的蓝部分就只能有唯一一种作图法和右面的图像对应了。
五 我们读书时做到解方程习题比如 y=ax+b 这样的函数，我们需要解方程当y=0 时x是什么值。 那么解黎曼的zeta方程等于0时，s可以取什么值呢？
当s=-2，-4，-6 等负整数时按照解析延拓zeta 函数等于0. 这些点没什么多大意思，被称为平凡0点。
六 令数学家着迷的是，s取正数的话，取什么值，zeta函数是0呢？
黎曼猜想这些s 取值全部都存在于s的实数部分是0.5虚数部分任意延展的一条延展线上。
可以看下图（图3或图4）红线部分就是实数部分是0.5，虚数部分取不同值时，通过坐标变换到zeta值的坐标系时的曲线。原来坐标系的直线已经扭曲成了曲线，可以看见这条红的曲线一直在绕圈圈，而且不断的通过坐标系0点。 黎曼猜想其实就是，他认为所有经过坐标变换后通过0点的线段，其实都是这条红线段得到无限延伸线，没有其他别的线段能经过这个0点了。我们可以看到0这个点也是一个无限多点塌缩的奇点，因为有无限多个
素数。
（非平凡0点变换到zeta值的坐标系中从直线扭曲了曲线，可以见到这个线不断经过0点。
这个曲线将会无限多次经过0点，因为有无限多个素数）
（这个图跟上图差不多）
图下载自
七 为什么黎曼猜想很重要，其中一个原因是它猜想的非平凡0点的分布和素数分布有重要联系。1901年数学家证明了黎曼猜想等价于一个素数计数函数。这个素数计数函数是说某一个x值，比方说x=10000吧，那10000 以内的素数总数量近似地等于 10000/ln（10000）
（ln 是对一个数取e 对数），10000以内一共有1229个素数，这个公司计算得到1086个素数。当x值越大时，这个公式预测的素数和实际素数的比值越接近。也就是说我们虽然没办法精确预测素数到底是哪个数，但是我们能测量素数分布的概率。这个公式的等价命题被证明是和黎曼猜想是等价的。所以说黎曼猜想和素数的分布有很重要的联系。而素数是纯数学里很重要研究对象。
八 在zeta函数的解析延拓也就是蓝部分的图里，s=-1 对应着zeta函数坐标系的-1/12.而如果把s=-1代入zeta 函数可以得 zeta（-1）=1+2+3+4 一直加下去。
所以有个著名的传说：所有自然数加总等于-1/12 这显然是不对的，超出定义域的s不能简单带入zeta函数。但是人们怀疑，既然zeta函数的拓展段和有定义域那段是一一对应的，自然数的加总和-1/12一定有某种联系。
之前我写过一个跟黎曼猜想有关的文章，大家有兴趣可以看看。链接在此。

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