四、数的整除性
153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识?
“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多,而且相对集中,如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系,就会引起混淆,而混淆也必然给以后的数学知识的学习,带来严重的后遗症。
例如:约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现,但又有相反的内涵,因此,这些概念必须牢固而又明确地建立起来。
还必须看到:“数的整除性”是学习分数的前提和准备。在分数的四则运算中,约分和通分是一定要掌握的基础知识,而构成这些基础知识,是离不开“数的整除性”这部分内容的。
例如:不掌握求最大公约数的方法,就不可能进行正确、迅速的约分;不掌握求最小公倍数的方法,也无法进行正确、迅速的通分。从这个意义上讲,学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。
除此之外,学生在过去的学习中,已经知道整数与整数的和、差、积都是整数,但整数除整数时,商不一定是整数,有时会是小数,到底在什么情况下,整数与整数相除,商仍然是整数呢?这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。
在未学习“数的整除性”前,学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。
87459÷3 65246÷7
32846÷11 96375÷25
74321÷9 79432÷8
由于数字较大,一时难于做出正确的判断,一旦掌握了“数的整除性”这部分知识,这些问题就不难解决了。
154.整除和除尽有什么不同?
整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念,也是两个易于混淆的概念。可以通过下面两道题的计算过程,来加以说明。
这两道题相同的地方是都没有余数,都可以说成是“除尽”。但这两道题又有不同的地方,(1)题中的被除数、除数和商都是整数,这种情况称作“整除”。按原题可以说成是896能被16整除。(2)题中的被除数、除数虽然是整数,但商不是整数,而是小数。这类情况就只能称作“除尽”,而不能称作“整除”。按原题可以说成36能被8除尽,而不能说成36能被8整除。
又如:3.5÷0.5=7 824÷41.2=20
这两个式子虽然都能除尽,商又是整数,但被除数和除数中, 至少有一个数不是整数,因此,这两个式子只能属于“除尽”情况,而不能称作“整除”。
由于在小学数学中,“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数,不包括0,因此,其定义是:“数a除以数b,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说,a能被b整除。”
“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数,不管被除数、除数和商是整数还是小数,都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下,才可以说是“整除”。
“整除”是整数范围内的除法,而“除尽”则不限于整数范围,只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”,但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”,“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。
155.“数的整除性”有哪些性质?
“数的整除性”的性质很多,涉及到小学数学内容的有以下几个:
(1)如果两个整数a、b都能被c整除,那么a与b的和也能被c整除。
例如:42÷7=6 56÷7=8
(42+56)÷7=14
42能被7整除,56也能被7整除,那么42与56的和(98)也能被7整除。
反之,如果整数a、b中,有一个数能被c整除,而其中一个数不能被c整除,那么a与b的和就一定不能被c整除。
例如:36÷9=4 83÷9=9……2
(36+83)÷9=13……2
36能被9整除,83不能被9整除,那么36与83的和(119)不能被9整除。
(2)如果两个整数a、b都能被c整除,那么a与b的差也能被C整除。
例如:88÷11=8, 66÷11=6
(88-66)÷11=2
自然数包括小数吗
88能被11整除,66也能被11整除,那么88与66的差(22)也能被11整除。
反之,如果整数a、b中,有一个数能被c整除,另一个数不能被c整除,那么a与b的差就一定不能被c整除。
例如:91÷13=7 30÷13=2……4
(91-30)÷13=4……9
91能被13整除,30不能被13整除,那么91与30的差(61)不能被13整除。
(3)如果两个整数a、b都不能被c整除。那么a与b的和(或差)能或不能被c整除。这是一个不肯定的结论。
例如:65÷7=9……2 33÷7=4……5
(65+33)÷7=14
(65-33)÷7=4……4
65不能被7整除,33也不能被7整除,由于两个余数的和(2+5=7),正好等于除数,因此,65与33的和(98)能被7整除;而65与33的差则不能被7整除。
又如:85÷11=7……8 38÷11=3……5
(85+38)÷11=11……2
(85-38)÷11=4……3
85不能被11整除,38也不能被11整除,此例中85与38的和(123)或差(47)都不能被11整除。
(4)如果整数a能被自然数c整除,那么a的倍数(整数倍)也能被c整除。
例如:39÷13=3
(39×4)÷13=12
39能被13整除,39的4倍(156)也能被13整除。
(5)如果a、b、c这三个数中,a能被b整除,b又能被c整除,那么a一定能被c整除(这是整除的传递性)。
例如:有84、21、7三个数
84÷24=4 21÷7=3
84÷7=12
84能被21整除,21又能被7整除,那么84就一定能被7整除。
反之,如果a、b、c这三个数中,a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况,a就一定不能被c整除。
例如:有121、11、5三个数
121÷11=11 11÷5=2……1
121÷5=24……1
121能被11整除,但11不能被5整除,那么121就一定不能被5整除。
156.“倍”与“倍数”有什么区别?
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