计算机仿真实验:万有引力常数的测定
计算机仿真实验：万有引⼒常数的测定
实验简介
测量万有引⼒常数G的物理意义是极⼤的。然⽽在⾃然界中万有引⼒⾮常微⼩，对于G的测量需要⾮常精确的⽅法。1798年卡⽂迪许（S. H. Cavendish）⽤扭秤法测量了两个已知质量球体之间的引⼒，成为精确测量万有引⼒常数第⼀⼈。19世纪，坡印亭（Poynting）和坡依斯(Boys)⼜对卡⽂迪许的实验做了重⼤改进。随着科学技术的发展，现在公认的万有引⼒常数Ｇ的值为。
测量引⼒常数G的意义是极⼤的。例如，根据⽜顿运动定律和万有引⼒定律可以推算出太阳系中天体的运动情况（与天⽂观测结果⼏乎完全⼀致）；可以根据万有引⼒定律和卡⽂迪许实验所算出的G值来确定地球的质量，算出地球的质量和体积，就可以推断出地球内部的物质密度，获得地核性质⽅⾯的知识等。
因为G的数值⾮常微⼩，所以在地球表⾯上物体之间的引⼒很微⼩，以⾄于通常可以忽略。因此卡⽂迪许扭秤法测量万有引⼒常数G的实验是⼀个⾮常精致的实验。时⾄今⽇，这个实验的思构思、思想、实验⽅法仍具有现世的指导意义，并被⼴泛使⽤。本实验要求学⽣：
1.掌握在扭秤摆动中求平衡位置的⽅法。
2.掌握如何通过卡⽂迪许扭秤法测量万有引⼒常数。
实验原理
根据⽜顿万有引⼒定律，间距为r, 质量为 m1 和m2 的两球之间的万有引⼒F⽅向沿着两球中⼼连线，⼤⼩为
其中G为万有引⼒常数。
(1)
实验仪器如卡⽂迪许扭秤法原理图所⽰。卡⽂迪许扭秤是⼀个⾼精度的仪器，⾮常灵敏，为保护仪器和防⽌外界⼲扰影响实验测量，扭秤被悬挂在⼀根⾦属丝上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。
实验时，把两个⼤球贴近装有扭秤的盒⼦，扭秤两端的⼩球受到⼤球的万有引⼒作⽤⽽移近⼤球，使
悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤上的⼩镜⼦反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转⾓度, 从⽽计算出万有引⼒常数 G。
假设开始时扭秤扭转⾓度，把⼤球移动贴近盒⼦放置，⼤⼩球之间的万有引⼒为
F，⼩球受到⼒偶矩N =2 Fl⽽扭转，悬挂扭秤的⾦属丝因扭转产⽣与⼒偶矩N相平衡的反向转矩N’= K(/2)，扭秤最终平衡在扭⾓的位置：
F =
G M m / d2
万有引力常数2F l= K( /2)
其中 K是⾦属悬丝的扭转常数，M是⼤球的质量，m是⼩球的质量，d 是⼤
球⼩球的中⼼的连线距离，l 是⼩球中⼼到扭秤中⼼的距离。
由转动⽅程可求得悬丝的扭转常数：通过转动惯量I 和测量扭秤扭转周期T 就可以得到⾦属丝的扭转系数K
假设⼩球相对⼤球是⾜够轻，那么转动惯量
因此扭转⾓
当⼤球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是 , 因此平衡时的总扭转⾓为
通过反射光点在光屏上的位移S可以得到悬丝扭转⾓度。由于万有引⼒作⽤很弱，使得扭秤平衡时扭转⾓很⼩，此时可以认为：
，其中D 是光屏到扭秤的距离。
因此万有引⼒常数
。
万有引⼒常数G 计算公式的修正：
由卡⽂迪许扭秤法原理图可知，⼩球受到⼤球M 1作⽤F 的同时也受到斜后⽅另⼀个⼤球M 2 的作⽤⼒ f ，考虑f 作⽤时，G 值应修正为
, 其中。
图2 扭秤的偏移和时间曲线
.
(3)
实验仪器
卡⽂迪许扭秤，激光发射器，光屏，⽶尺，秒表，电源。
卡⽂迪许扭秤:
卡⽂迪许扭秤被放在镶有玻璃板铝盒内，固定在底座上们，内部主体结构见图。
长约16cm的青铜材料悬丝通过连接⽚与上、下螺杆连接。扭丝转⾓调整螺母⽤于调节扭秤平衡中⼼的位置，上⾯的刻度可读出平衡点偏离中⼼⾓度。
在下螺杆上装有反射激光的镜⼦盒相距10cm、质量20g的两个⼩球。仪器的侧⾯有⼀个锁紧螺钉，逆时针转动可向上举起扭秤，使悬丝处于松弛休息状态，顺时针松开时扭秤被放下，可以⾃由转动，通过⿏标双击切换螺钉状态。底座上有放置⼤球的可旋转⽀撑架，可使⼤球靠近或离开⼩球。需要调节
⼤球的位置时，在⼤球上单击⿏标左键，⽀撑⽀架带动⼤球⼀起向左转动，单击⿏标右键则使得向右转动。底座下⾯装有调整仪器⽔平的三个调节旋钮。
激光器:
通过⿏标单击“Power”按钮使得激光器打开或者关闭。
秒表：
电⼦停表的机芯采⽤电⼦元件组成，利⽤⽯英振荡频率为基准。其显⽰装置通常有6位液晶显⽰，计时时分别显⽰分、秒、百
分之秒各位的数值。电⼦停表通常有“start/stop(启动/停⽌)”和“Reset(复位)”按钮。“start/stop”按钮具有开始计时、停⽌计时和累加计时的功能；“Reset”按钮⽤于将显⽰的计时复位为0。通过⿏标在按钮位置的单击显⽰按动按钮的动作。
实验内容
1.选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。
2.在开始实验显⽰的实验场景中，在卡⽂迪许扭秤位置⿏标左键双击打开扭秤调节窗⼝，
激光器位置双击打开激光器窗⼝，光屏位置双击打开放⼤的光屏读数窗⼝，场景中⿏标右键单击实验窗⼝弹出选择菜单。
选择“实验场景测量”显⽰实验场景⽰意图，通过读取⿏标的位置测量两个⼩球
，反射镜和光屏之间距离D, 贴近盒⼦的⼤球中⼼到对应⼩球中⼼之间距离d。
间距
3.如卡⽂迪许扭秤法原理图所⽰，按下列⽅法调整扭秤位于盒⼦的中央。
z打开激光器电源：双击电源弹出放⼤的激光器电源⾯板。⿏标单击开关打开电源，可以看见激光被镜⼦反射到远处的光屏上。
z确定平衡位置C：⿏标双击实验窗⼝中的卡⽂迪许扭秤进⾏调节。
通过右键菜单可打开卡⽂迪许扭秤顶视图。通过的⿏标调节扭丝转⾓调节旋钮，可对扭秤初始转⾓进⾏粗调。
双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最⼤振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。记录此时光点在光屏两端最远点的位置x1, x2 。Xc = (x1+ x2)/2。
z确定实际平衡位置C’：当扭秤振动衰减到不接触盒⼦两边玻璃板后, 按下图2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置.
z平衡位置X c’可以按照下⾯⽅法计算得到:
(Xc’ –x2) / (x1–Xc’) = (x3–Xc’) / (Xc’ –x2)
或 Xc’= (x–x1x3) / (2x2–x1–x3)
如果如果X c = X c ’，那么扭秤就基本平衡了. 否则需要调整扭⾓度调整旋钮，直到Xc = X c ’：⿏标右键扭秤窗⼝弹出菜单，选择扭秤顶视图显⽰扭秤顶端。通过单击⿏标右键
或者左键旋转“扭⾓调整”旋钮到合适位置。
4. 测扭秤的固有振动周期T : 将⼤球放置在⽀撑架上，⽀撑架旋转臂垂直于扭秤，此时扭秤
受⼒平衡。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，等待扭秤振动到最⼤幅度时⼩球不和两边玻璃壁碰撞后，⽤秒表记录光点连续摆动4个周期所需时间。实验窗⼝⿏标右键弹出菜单，选择“显⽰秒表”。
测量万有引⼒作⽤下光点的位移S :
5. 在扭秤窗⼝选择“前视图”，通过在扭秤上⼤球位置单击⿏标右键或者左键转动⼤球，
使得⼤球按照卡⽂迪许扭秤法原理图中⿊线⼤球的位置贴近盒⼦。
6. 等待扭秤振动到最⼤幅度时⼩球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光
屏两端极值点的位置a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6。则光点静⽌时位置坐标A 可由下述平均法计算：
,
,
7. 转动⼤球到反向对称位置（卡⽂迪许扭秤法原理图中虚线⼤球的位置），等待扭秤振动
到最⼤幅度时⼩球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6。则光点静⽌时位置坐标B 可由上述平均法计算：
8. 在把⼤球转到卡⽂迪许扭秤法原理图中⿊线⼤球的位置，等待扭秤振动到最⼤幅度时⼩
球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置a ’1,a ’
2,a ’3,a ’4,a ’5,a ’6。求出A ’。由A,B,A ’可算出2组位移量:
, ,
平均值。
9. 计算万有引⼒常数G 。
实验指导
z 实验重点、难点：
1. 体会卡⽂迪许扭秤测量万有引⼒常数实验的设计思想，掌握利⽤转换法和光学放⼤原理去测量微⼩⼒的⽅法。
2. 实验中要校正好扭秤的平衡中⼼，使得整扭秤位于盒⼦的中央（扭秤反射的光点尽
量落在光屏的0点附近），避免给后续测量造成读数困难。
3. 实验过程中避免外界震动的⼲扰，观测者不要碰、触放置扭秤的平台，特别在测量
中不能随意抬、落扭秤，避免损坏仪器。
z常见问题
1.为什么显⽰调节扭秤，光屏上的显⽰扭秤转动的光点不动？
原因：可能是扭秤被扭秤侧⾯的锁定螺钉锁紧。
解决：⿏标双击螺钉，松开扭秤即可转动。
2．为什么扭秤转动时，⼀边始终碰壁？
原因：可能是扭秤初始转⾓偏离过⼤
解决：在扭秤顶视图上, 通过⿏标左右键转动扭丝转⾓调节旋钮，可减⼩扭秤初始转⾓偏离。
3．为什么实验中的时钟速度⽐正常时间快很多，记录周期时以什么时间为准？
原因：由于扭秤振动过程中阻尼很⼩，从开始振动衰减到两边都不和玻璃壁相碰的可测量状态需要时间过长，因此实验中的时
间被调快。
解决：测量振动周期以实验中秒表读数为准。
思考题
1.假设 M= 1kg, l = 10 cm, d =5cm , m = 15 g, 。
1) 扭秤的周期 T ?
2) 悬丝的扭转常数 K ?
2. 对测量结果进⾏分析，分析影响测量结果的主要因素。
参考书⽬
1.《⼤学物理实验》第⼆册，谢⾏恕康世秀霍剑青主编，⾼等教育出版社
2.《中国⼤百科全书》I,II 中国⼤百科全书出版社
3．《⼒学》，张三慧，清华⼤学出版社，1999

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