教案
用微积分推导Newton的万有引力定律
复旦大学於崇华
复旦大学於崇华
Newton万有引力定律
宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数
为了推导内在的定量关系即数学规律，先要将行星运动定律
用数学形式表达出来。
Kepler第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭
以太阳为极点，椭圆的长轴 为极轴建立极坐标，则行星的轨
1 - e cosO
这里p=—是焦参数，e= J1-4是离心率，°和占分别是椭圆的半 a V a-
长轴和半短轴。
设在t时刻：
行星与太阳的距离为r=r (0,它们的连线与极轴的夹角 为8 = &(/),则行星的坐标可以用向量记号表示成
r = （r cos 0, r sin 0） o
先从Newton第二运动定律F二ma入手
将r分解成水平分量r cos 0和垂直分量r sin 0 ,利用运动 的独立性原理，用Newton第二运动定律
_ d万有引力常数2r
F 二 T 時’
分别求它们的二阶导数后再合成。
记行星沿极径方向的速度： 將三/ （称为径向速度）
d 2 r ..
加速度： 亍三厂（称为径向加速度），
d 0 小 d3 _ .
角速度：市三®角加速度：〒■厂=3
利用复介函数的求导法则（r和8都是/的函数），行星在X方向和y 方向上的加速度分量分别为
= (r-/xo2)cos0-(2H»4-nb)siii0 ；
=r sill 0 + 2ko cos0+r[®cos0-co2 siiiQ]
=(2rco + rco)cosO + (r - rco2)sin0 c
记r方向上的单位向量G = 7 = （cosO, siiiO）,则加速度向量
― a Z- f VM I / VJ
为了得到行星运动规律，必须求出厂一兀/与 ，
CO
而求这两个量只能借助其它的关系式 试着将Kepler的行星运动第二定律用数学形式表达出来:
Kepler第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的 面积是常数。
记d A是极径转过角度de所扫过的那块椭圆的面积，则由
极坐标下的面积公式的微分形式，
记行星绕太阳运行一周的时间为厂，则经过丁时间极径所 扫过的而积恰为整个椭圆的而积兀db ,由定积分的定义和性 质，利用微元法，即得
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