第四节 万有引力定律 天体的运动
一、考点扫描
1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的积成正比，跟他们之间的距离的平方成反比。
2、公式：用m1、m2，分别表示两个物体的质量，用r表示它们之间的距离(如果相距很远，将物体看成质点；如果是均匀的球体，它们之间的距离为两球球心之间的距离)，用F表示它们之间的引力，如图1所示，则有：。
3、万有引力定律的适用条件：万有引力定律适用于计算质点间的引力。具体有以下三种情况：（1）两物体间的距离远大于物体本身的线度，两物体可视为质点，例如行星绕太阳的旋转；（2）两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离；（3）一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体即质点之间，其距离为质点到球心的距离。
4、引力常数G：先确定单位，m的单位是kg，r的单位是m，G的单位是，大小为两个质量为1kg的物体相距1m时的相互作用力，即。
5、开普勒三大定律：
第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
第二定律：太阳和行星的联线在相等时间内扫过相等的面积。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。若用R代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则=k，比值k是一个与行星无关的常量。
6、人造地球卫星的几个问题：
（1）虽然高空轨道卫星运行的速度小，但运送卫星进入轨道的过程中运载工具克服重力做的功多，所以比发射低空轨道卫星难度大。
（2）发射卫星的速度和卫星在轨道上的速度是不同的概念，发射的过程中，运载工具的速度不断增加，在增加的过程中，不断进行调姿，最终进入轨道，此时速度的方向与轨道的轨迹相切，速度为运行速度。
（3）同步卫星(又称同步通讯卫星)：是指卫星绕地球转动的周期与地球的自转周期一样大小，即24h，角速度，运动的平面和赤道的平面重合，和地球上物体的相对位置不发生变化，由于是一个定值，则高度h是惟一的，为：，即：3.6×107m。
（4）极地卫星卫星的轨道平面和某一经线所在的平面重合，运行之中卫星要通过地球的两极。
（5）根据万有引力定律，卫星在距地面高度为h的轨道上做匀速圆周运动时，向心力由万有引力提供。
7、万有引力和重力的区别和联系：
重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图2所示。由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力也不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。在赤道上g约为9.78m/s2，在两极约为9.83m/s2。在通常的计算中可以认为重力和万有引力相等，即mg=，g=，常用来计算星球表面重力加速度的大小。
在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，因为物体所受引力随物体离地面高度的增加而减小，即。
二、典型例题
例1、两颗人造地球卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比是，则轨道半径之比和运动的速率之比分别是（ ）
A、 B、
C、 D、
分析和解答：根据得到：对A： ①
对B： ② 两式相除得到 ③
根据，得： ④， ⑤
由③④⑤式得：，因此选项D正确。
例2、地球对地面上物体的引力和地球对月球的引力是一种性质的力~万有引力。地球表面物体的重力加速度为，月球受到地球的吸引力产生的绕地球运动的向心加速度有为多大？月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度是多大？(已知月球中心到地球中心的距离为地球半径的60倍，地球的质量约为月球质量的81倍，月球的半径约为地球半径的0.27倍)
分析和解答：根据万有引力定律，宇宙间任何两个物体间都存在万有引力，地球表面的物体受到地球的引力产生的加速度为g，设地球质量为M，月球的质量为，地球的半径为R，月球的半径为r。
以地球表面的物体为研究对象， ①，加速度： ②
研究月球受到地球的引力产生的加速度： ③
④
设月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度为，则：
⑤ 解得：。
点评：要注意区别月球绕地球运动产生的加速度和月球表面的物体的加速度的不同、原因是月球产生的加速度是由于地球对月球的引力而产生的，而月球表面物体的加速度是由于月球对物体的引力而生的。月球表面的物体虽然受到地球对它的引力，但和月球对它的引力相比是微乎其微的，所以只考虑月球对它的引力。
例3、如图3所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
分析和解答：本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万
有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则： ①万有引力常数 ②
所以： ③，所以： ④
代入数据得：
例4、天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫做双星。已知双星的质量分别为和，相距为r，它们分别绕连线上的一点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。
分析和解答：首先建立双星系统的运动模型如图4所示。由转动的中心总在一直线上得到，两星的转动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之间的万有引力提供，结合规律容易得到。
设到O的距离为x，到O的距离为r－x，则：
① ②
联立二式解得： ③
因此速度分别为： ④， ⑤
点评：要注意两个恒星的运动周期和角速度是一样的，这一点是解决问题的关键。
例5、空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上一昼夜是6h，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量物体的重力加速度比在两极测量的读数小10%，已知万有引力恒量是，求此行星的密度。
分析和解答：要解决这一问题先要建立符合题意的模型，建立模型时可以和日—地系统的运动模型进行对比得到，如图5所示，由题意知行星自转的周期为6h。
设行星的质量为M，半径为R，平均密度为，则，两极的重力为物体受到的万有引力，m是一个假定的物体的质量。
物体在赤道随行星自转的向心力为： ①
弹簧测力计的读数为由题意得到： ②
③ 而 ④
⑤ 代入数据得到：。
三、反馈训练
1、航天飞机中的物体处于失重状态，是指这个物体（ ）
A、不受地球的吸引力 B、地球吸引力和向心力平衡
C、受的向心力和离心力平衡 D、对支持它的物体的压力为零
2、同步卫星是指相对于地面不动的人造卫星（ ）
A、它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值
B、它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C、它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同的值
D、它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
3、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，则人造卫星（ ）
A、绕行的最大线速度为 B、绕行的最小周期为
C、在距地面高为R处的绕行速度为 D、在距地面高为R处的周期为
4、A、B是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星，若两个卫星的质量相等，环绕运动的半径，则卫星A和B的（ ）
A、加速度大小之比是4∶1 B、周期之比是
C、线速度大小之比是 D、向心力之比是1∶1
5、“神舟四号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行、运行中需要进行多次轨道维持、轨道维持就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力，使飞船能保持在同一轨道上稳定运行，如果不进行轨道维持，飞船的轨道高度就会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化的关系应该是（ ）
A、动能、重力势能和机械能都逐渐减小
B、重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变
C、重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变
D、重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
6、（上海高考）一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动、探测器通过喷气而获得推动力，以下关于喷气方向的描述中正确的是（ ）
A、探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B、探测器加速运动时，竖直向下喷气
C、探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D、探测器匀速运动时，不需要喷气
7、（2005年北京海淀区高三物理一模反馈题）我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断中正确的是（ ）
A、飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力
B、飞船的动能小于同步卫星的动能
C、飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
D、发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量
8、探测器探测到土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（ ）
A、若v∝R，则该环是土星的一部分 B、若v2∝R，则该环是土星的卫星
C、若v∝1/R，则该环是土星的一部分 D、若v2∝1/R，则该环是土星的卫星
9、（南京市2005届高三物理第一次调研性测试试卷）银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1到S2间的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ ）
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