第四节 万有引力与天体运动
一．万有引力定律
1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比．
2、公式：
其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为引力常量．
3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r是两球心间的距离．
二．万有引力定律的应用
1、行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力．
⑴表面重力加速度：因 则
⑵轨道上的重力加速度：因 则
2、人造卫星
⑴万有引力提供向心力：人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地球对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题最基本的关系是：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期
①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24 h.
②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度．
③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.
⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同．
3、三种宇宙速度
⑴第一宇宙速度:
要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度，v1=7.9 km/s。但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度。
要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度，v1=7.9 km/s。但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度。
当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km/s时，它绕地球运行的轨迹就不再是圆形，而是椭圆形.
⑵第二宇宙速度:
当卫星的速度等于或大于11.2 km/s时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把v2=11.2 km/s称为第二宇宙速度,也称脱离速度。
当卫星的速度等于或大于11.2 km/s时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把v2=11.2 km/s称为第二宇宙速度,也称脱离速度。
⑶第三宇宙速度:
当物体的速度等于或大于16.7 km/s时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s称为第三宇宙速度，也称逃逸速度。
当物体的速度等于或大于16.7 km/s时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s称为第三宇宙速度，也称逃逸速度。
说明：宇宙速度是指发射速度，不是卫星的运行速度。
3、万有引力定律的应用例析
基本方法：
⑴天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供
⑵在地面附近万有引力近似等于物体的重力
1、人造卫星的v、ω、T、a与轨道半径r的关系
r 越大，v 越小。
r 越大，ω越小。
r 越大，T越大。
r 越大，a 向越小。
补充：V T W a 与r的正比关系
F∝；a∝; v∝;∝；T∝。
规律：越高越慢
2、天体质量M、密度ρ的估算（以地球为例）
⑴若已知卫星绕地球运行的周期T 和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地
球半径R已知）：
⑵若已知卫星绕地
球运行的线速度v
和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地
球半径R已知）：
⑶若已知卫星绕地球运行的线速度v 和周期T（或角速度ω）
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径R已知）：
⑷若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径R已知）：
3、卫星变轨和卫星的能量问题
⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。
⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。
⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解
①若 F供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动．
②若 F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动．
③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。
4.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同：
1．轨道半径：r同>r近＝r物
2．运行周期：T同＝T物>T近
3．向心加速度：a近>a同>a物
5.双心问题
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．
它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为 M1 和M2，相距 L，求它们的角速度．
如图 ，设 M1的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L.
2．双星系统模型的三大规律：
(1)双星系统的周期、角速度相同．
(2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
6.三星模型
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其
他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．
附录：万有引力相关公式
1思路和方法:卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, F心=F万 (类似原子模型)
2公式：G=ma万有引力常数n，又an=， 则v=，，T=
3求中心天体的质量M和密度ρ
由G==mr =mM= ()
ρ= (当r=R即近地卫星绕中心天体运行时)ρ= （M=V球=r3） s球面=4r2 s=r2 (光的垂直有效面接收，球体推进辐射) s球冠=2Rh
轨道上正常转： F引=G= F心= ma心= m2 R= mm4n2 R
地面附近： G= mg GM=gR2 (黄金代换式) mg = m=v第一宇宙=7.9km/s
题目中常隐含：(地球表面重力加速度为g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。
轨道上正常转： G= m
【讨论】(v或EK)与r关系，r最小时为地球半径时，v第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度)；
T最小=84.8min=1.4h
沿圆轨道运动的卫星的几个结论: v=，，T=
理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r最小时为地球半径、
最大的运行速度=v第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T最小=84.8min=1.4h
同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极仍有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍)
V同步=3.08km/s﹤V第一宇宙=7.9km/s =15o/h(地理上时区) a=0.23m/s2
运行速度与发射速度、变轨速度的区别
卫星的能量:r增v减小(EK减小<Ep增加),所以 E总增加;需克服引力做功越多,地面上需要的发射速度越大
卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行
应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s2 月球公转周期30天
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