计数方法与技巧(插板法)
计数方法与技巧(插板法概念)
计数方法与技巧(插板法例题1
计数方法与技巧(插板法例题2
计数之插板法习题1
  插板法就是插板法就是在n个元素间的(n-1)个空中插入 若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组的方法。
  应用插板法必须满足三个条件:
  (1 n个元素必须互不相异
  (2 所分成的每一组至少分得一个元素
  (3)    分成的组别彼此相异
  举个很普通的例子来说明
  把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?
  问题的题干满足 条件(1)(2),适用插板法,c9 2=36
  下面通过几道题目介绍下插板法的应用
  凑元素插板法 (有些题目满足条件(1),不满足条件(2),此时可适用此方法)
  1 :把10个相同的小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
  2 10节约用电的方法个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况?
  b 添板插板法
  3:把10个相同小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
  4:有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如2571459等等,这类数共有几个?
  5:有一类自然数,从第四个数字开始,每个数字都恰好是它前面三个数字之和,直至不能再写为止,如23491427等等,这类数共有几个?
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 答案:  13个箱子都可能取到空球,条件(2)不满足,此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球,则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
  显然就是 c12 2=66
  2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个,小球剩8个放3个箱子,然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球,则问题转化为 9个相同小球放3不同箱子,每箱至少1个,几种方法? c8 2=28
  3、 -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o -          o表示10个小球,-表示空位
  11个空位中取2个加入2块板,第一组和第三组可以取到空的情况,第2组始终不能取空
  此时 若在 11个空位后加入第12块板,设取到该板时,第二组取球为空
  则每一组都可能取球为空  c12 2=66
  4、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数,只要求出前2位有几种情况即可,设前
两位为ab
  显然a+b<=9 ,a不为0
  1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -  -          1代表91-代表10个空位
  我们可以在这9个空位中插入2个板,分成3组,第一组取到a1,第二组取到b1,但此时第二组始终不能取空,若多添加第10个空时,设取到该板时第二组取空,即b=0,所以一共有 c10 2=45
  5、类似的,某数的前三位为abca+b+c<=9,a不为0
  1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -  -  -
  在9个空位种插如3板,分成4组,第一组取a1,第二组取b1,第三组取c1,由于第二,第三组都不能取到空,所以添加2块板
  设取到第10个板时,第二组取空,即b=0;取到第11个板时,第三组取空,即c=0。所以一共有c11 3=165
 计数之插板法习题2
  c 选板法
  6 10粒糖,如果每天至少吃一粒(多不限),吃完为止,求有多少种不同吃法?
  d 分类插板
  7 小梅有15块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法?
  e 二次插板法
  8 :在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?
 答案:
  6o - o - o - o - o - o - o - o - o - o    o代表10个糖,-代表9块板
  10块糖,9个空,插入9块板,每个板都可以选择放或是不放,相邻两个板间的糖一天吃
  这样一共就是 2^9= 512
  7、此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天,因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
  最多吃5天,最少吃1
  1 1天或是5天,各一种吃法  一共2种情况
  2:吃2天,每天预先吃2块,即问11块糖,每天至少吃1块,吃2天,几种情况? c10 1=10
  3:吃3天,每天预先吃2块,即问9块糖,每天至少1块,吃3? c8 2=28
  4:吃4天,每天预先吃2块,即问7块糖,每天至少1块,吃4天?c6 3=20
  所以一共是 2+10+28+20=60
  8、 -o - o - o - o - o - o -          三个节目abc
  可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位
  所以一共是 c7 1×c8 1×c9  1=504
 
 1、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学,每个学校至少分1台,共有多少种分法?
  2、将13台型号相同的电脑送给三所希望小学,每个学校至少分2台,共有多少种分法?
  3、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学,每个学校至少分0台,共有多少种分法?
(C82  C92    C112)
计数之插板法习题4
  1、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法?
  2、有9颗相同的糖,每天至少吃1颗,要4天吃完,有多少种吃法?
  3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级,每班至少1个球,问共有多少种不同的分法?
  4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,一共有多少种方法?
 
计数之插板法习题4(2)
  1、解析:解决这道问题只需要将8个球分成三组,然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可,于是可以讲8个球排成一排,然后用两个板查到8个球所形成的空里,即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中,第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中,第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球,因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端,于是其放板的方法数是。(板也是无区别的)

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