第四讲对应计数
有9个球排成一行：
我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这9个球分成三堆，例如：
节约用电的方法
可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多，那么到底有多少种插入木板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙，一共有8个空隙．插入的两块木板要把小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中．8个空隙选两个，共有
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C 种方法．
如果要把三堆小球分别装入颜为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？
其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是28．这样我们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插板法”．
放入红放入黄放入蓝
“插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题．
例1．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？
如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？
【分析】
「分析」题目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似，如何用“插板法”求解呢？
第二问允许有的“小朋友没有分到苹果”，还能不能用“插板法”呢？
练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟．如果每只小乌龟至少分一个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方法？
例2．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不
应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？
「分析」题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？
练习2、8名同学做同一道单选题，它有A、B、C、D四个选项，每个同学都选了其中一个选项．老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有多少种可能的统计结果？
最早的计数方法——对应法
我们这一讲学习对应的计数方法，这种计数方法有很强的技巧性，很考验思维能力．也许你觉得这种对应法不是那么容易掌握，但它其实是非常有用，而且历史悠久的．人类最早使用的计数方法不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应！
对应法最早的应用是结绳计数．最早期的时候，人类还没有发明数字．因而用枚举等其他方法来记录数量的多少是不可能办到的．这时，人们的计数方法是在绳子上打结或者在树上刻痕．用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物，采集了多少花果．这个时期持续了很长时间，因为人类的历史已经有几百万年，而数字的发明距今还不到1万年，在人类历史上的大部分时间，使用的计数方法是对应法——结绳计数．结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来．宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火．”这
是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法．中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起．
有趣的是，结绳计数不止在我们中国古代用过，在国外也有很多结绳计数的记载．传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天．为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣．他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了．”
对应是最原始的计数方法，充分蕴含着人类的智慧．
例3．在88
⨯的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
「分析」要把“L”型放入88
⨯的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有8种情形，那么是不是需要对每一个方向的“L”型分别进行计数呢？
练习3、在66
⨯的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？
例4．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
「分析」（1）青蛙在直线上跳跃4次后要回到起点，如果一直往一个方向跳，显然是不行的．那么青蛙应该怎么跳呢？
（2）青蛙在方格表上跳跃4次后要回到起点，现在青蛙有哪些跳跃的方向，每个方向上各应该跳跃多少次呢？
练习4、一只青蛙沿着一条直线跳跃6次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
对应法是一种很巧的计数方法，但如何建立对应关系，是其中的难点．之前几道题，对应关系的建立相对比较直接，而有些问题，则需要通过大量的分析，才能出隐藏的对应关系．
例5．常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利．请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？
「分析」由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场．如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号，那么常昊胜的4场比赛编号，就决定了整个比赛流程．而常昊获胜的比赛可以是哪4场呢？
例6．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？
「分析」你能用插板法求解这道题吗？
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