庞加莱
你若想从随机的相互作用中得到最大的机会，你就必须经常在脑子里反复思考这些东西。我想庞加莱讲过这种话。
一迈克尔·阿蒂亚①
可以毫不夸大地说，拓扑学作为科学的分支，是在19世纪由庞加莱奠基的。
——谢尔盖·诺维可夫②
有生理缺陷的孩子
位处法国东北，不乏美景的历史名邑南锡是座小城。1854年4月29日，就在小城南锡，诞生了一位彪炳千古的大数学家——亨利·庞加莱。
亨利的父亲，莱昂·庞加莱一生从医，是南锡大学生理学教授。作为一位名医，他还是医师公会成员，公务繁忙。亨利的母亲是位贤慧的女性。她聪明机敏富有灵气。小亨利出生不久，她察觉婴儿手脚活动不大正常。这使母亲感到不安。亨利有了妹妹阿兰以后，母亲不再做别的事，集中精力悉心照料两个孩子。在循循善诱的母亲教育下，小亨利的智力发展很快。但是他仍然没有摆脱身体不灵活的阴影。仔细观察分析之后，父母确信，这是亨利的运动神经调节官能很差的缘故。
上学以后，人们看到小庞加莱左右两只手都能写字画画，可是写的字，画的画，都不好看。妈妈感觉，儿子手脚不灵便的毛病恐怕没有希望改掉了。5岁时，雪上加霜，小亨利染上了白喉，更损害了他的神经系统。喉咙麻痹的症状延续了9个月才逐渐缓解。后来发现，亨利的视力也受到影响。儿子的健康问题成了母亲的心病。
做医生的父亲也无能为力。患白喉以后很长一段时期，亨利因虚弱而常常发蔫，胆小怕事。人们看到，他不再参加小男孩间粗野的打闹；也很少和妹妹及街坊小朋友一块儿玩。他的娱乐就是自个儿看书和跳舞。1859年达尔文发表《物种的起源》。可能受到达尔文学说传播的影响，庞加莱对大自然的演变和动植物的进化发生了浓厚的兴趣。他一直很喜欢动物。如果美国女生物学家卡森的《寂静的春天》早出版100年，庞加莱可能会参加动物保护协会。不料他一次摆弄时误伤了一只小鸟。这使他十分痛苦和愧疚。除了在战争时期强制的军事训练，他再也不摸那些火器了。
妈妈发现，阅读时小亨利看得很快。相当厚的一本书，两天他就看完丁。更令人吃惊的是，他还能把书中故事讲出来；甚至可以说出那些事印在书中哪些页上，真可谓过目不忘。这使妈妈又惊又喜。继续观察得知，经过很长时间的往事，他也能清晰地回忆起来。
后来到高年级，他的视力不行，看不清黑板上的板书而无法记笔记。他就聚精会神地谛听老师的讲解，边听边想，久而久之，庞加莱领悟和记忆的能力越练越强。父母惊喜地看到，他的空间记忆和时间记忆，或者视觉记忆和听觉记忆都非同一般。
一方面，亨利的运动神经调节官能差，造成手脚活动不灵便；患白喉后视力低下，他是个
有生理缺陷的小孩。另一方面，他是个聪明的孩子，有不寻常的记忆，可算是一种异禀吧。这让妈妈既担忧又有期待。父母不得不经常提醒他多活动身体增强体能。于是他每每独自一人手舞足蹈；甚至自编自演过一出诗剧。他娱乐之余常帮妈妈干家务，但是很少做功课。好在成绩单表明亨利学习优良，让家长放心。事实上，除了体育与美术，其他各门功课他都感觉轻松。9岁时，庞加莱在文学课上写的一篇短文，因为立意不俗，形式新颖，受到老师表扬，被称赞为“小小杰作”。
走上追求真理之路
小庞加莱慢慢长大，数学课程度渐渐提高，他对数学的兴趣也越来越大。几何学有好看的图形和美妙的思路让大家喜悦。别看庞加莱笨拙的手画图不灵，几何课上他可风光了。无章可循的几何题，常使同学们抓耳挠腮；很少画好图形的庞加莱却能三言两语就给出问题的解答。这是怎么一回事？难道真的“几何学是利用不正确的图形来进行正确思维的艺术”？老师和同学惊奇之余都佩服庞加莱的数学本领。他自己更越发喜欢数学了。到15岁左右，庞加莱放学回家，常常在屋里屋外来回踱步。开始妈妈莫名其妙，后来才知道，那是他在思
①迈克尔·阿蒂亚( 1929-)是英国数学家，在几何、拓扑和分析上均有重大建树，对当代数学有重要影响。1966年获菲尔兹奖。
②谢尔盖·诺维可夫(1938- )是俄罗斯拓扑学家，1970年获菲尔兹奖。
考数学问题。解答想好了，他一气呵成写出来，真是十分惬意的事。他似乎已经迷上了数学，以至于经常忘记吃饭，使母亲非常不安。父亲也不止一次告诫：不吃早饭有损健康，对孩子成长十分不利。其实亨利并不是不好吃，只是太喜欢想数学问题了。成年以后，工作之外，庞加莱表现出来的“心不在焉”更严重了。
1870年爆发了普法战争。庞加莱年龄小，体质弱，没有去服兵役。他后来加入战地巡回医院，协助父亲工作。俾斯麦早已蓄谋夺取法国的欧洲霸权，建立德意志帝国。德国入侵
者很快占领了南锡，并将巴赞元帅率领的法军野战兵团围困在北面不远的梅斯。普军有备而来，法军屡屡失利。10月下旬巴赞在梅斯投降了。对糟糕的局势，老百姓无可奈何。寒冬来临，亨利陪着妈妈和妹妹逃难去外婆家。姥姥和姥爷住在阿兰瑟。亨利的记忆中，他
小时在外婆家的生活是美好的。可是娘儿三个饥寒交迫下，越过一个个沦为焦土的村镇，到达阿兰瑟时，看见的只是一片残垣断壁。在侵略者铁蹄的蹂躏下，美好家园已经不复存在。外婆家被洗劫一空，连不值钱的杂物都没有剩下。国难家仇使少年庞加莱成为一名爱国者。普法战争以法国失败告终。1871年5月签订法兰克福条约。德国并吞了阿尔萨斯及洛林的大部分，连梅斯都划归了德国。后来庞加莱读到法国作家都德的《最后一课》，想起这穷兵黩武烧杀抢掠的一幕，仍然无比愤慨。
1871年底，庞加莱报考著名的巴黎综合工科学校。入学考试时主考官听说庞加莱是个数学奇才，把考试推迟三刻钟，精心选编了一道难题来考他。庞加莱出地解答了这道题，得到数学的最高分。他的体育成绩不佳，更麻烦的是绘画被判零分。按规定得零分的考生将被淘汰。由于庞加莱的数学名声，淘汰他可能如同40多年前淘汰伽罗瓦，校方将招致社会舆论的谴责。学校当局不愿重蹈覆辙，最终破格录取了他。
进入巴黎综合工科学校以后，庞加莱多次听到人们议论学校在20年代两次把伽罗瓦拒于门外的事。年轻的伽罗瓦提出置换与数域概念，建立伽罗瓦对应，彻底解决了代数方程根式解的千古难题，却在不足21岁时死于非命。这样令人扼腕的事，在庞加莱非凡的记忆
中更是无法磨灭。于是他发奋钻研约当的著作和李思想；继承伽罗瓦的研究。这不仅使庞加莱看清论在研究方程中的作用。更认识到伽罗瓦理论的深远的意义。坐标法建立形与数的基本对应，伽罗瓦理论则揭示了几何与代数、数论之间深层的内蕴关系。庞加莱一向喜欢革新思想。罗巴切夫斯基等人的非欧几何，柯西与黎曼的复变函数，同样是他所关注的。虽然在物理实验操作上他稍逊一筹，但对理论物理，比如拉格朗日等人的分析力学，拉普拉斯的天体力学，傅里叶的热的解析理论，尤其是麦克斯韦的电磁学说，却都饶有兴趣。重视物理，庞加莱也就特别重视对与物理联系密切的微分方程的学习。
心智早开，视野广阔，庞加莱长大了。他对母亲的理解也加深了。妈妈长年操持家务，教育子女，任劳任怨。她还总担心孩子的健康，又为他们的进步高兴。她无言的举止，慈祥的目光，似乎在说：上帝是公正的。庞加莱想着自己的先天不足，深知不能恃才傲物，还要注意自己品德操守的磨炼。他虽然体育运动落后，不能和同学们在操场上同乐；但是他与人为善，坦诚正直，这使他在班上颇得人心。他拙于绘画，同学们特为此开了个善意的玩笑。在一个年终，他们举办了一个“庞加莱艺术作品展览”，用希腊文对每件展品作出说明。结果出现了一些令人捧腹的“画虎类犬”的笑料。
1875年，庞加莱从巴黎综合工科学校毕业。他打算当一名工程师，又进了高等矿业学校。他认真学习工程技术课程，注意体魄锻炼，以使自己具备工程师应有的素养。一次实习中，一口矿井瓦斯爆炸并引发大火。庞加莱奔向浓烟滚滚的井口，顾不得想什么，跟着救生员们匆匆下井，去营救遇险矿工。热浪烟尘中他没有退缩。他们冒着生命危险奋勇抢救，也没有避免悲剧发生。这次灾难造成16名矿工丧生。庞加莱直面遇难矿工的遗体，沉思生与死的哲理，久久不能平静。
在矿业学校，庞加莱认识到工程技术研究离不了数学与物理，特别是微分方程。于是他一有空闲就研究微分方程。对微分方程通解的一项研究，是庞加莱数学创造的锋芒初试。 1878年庞加莱向巴黎科学院提交了关于微分方程的第一篇论文，并为此于1879年8月1日获得博士学位。这导致他职业前途改变。他不冷漠应用科学，也不轻视工程技术。可是好像命中注定他不能成为工程师。1879年他应聘为卡昂大学数学分析讲师。庞加莱以他超凡的天赋，开阔的心胸，抱着对真理的执著的追求，走上了职业数学家的道路。
慢慢求索
由于在微分方程研究中成绩卓著，1881年庞加莱被聘为巴黎大学教授。同年他与路易丝·
保兰结为夫妻。巴黎大学安排他讲授力学与物理学。课余庞加莱继续研究微分方程。所谓微分方程，是含有未知函数的导数的等式；解微分方程就是求出未知函数①。微分方程与它的解——函数，密切相关。庞加莱研究微分方程引起他寻求的自守函数，是三角函数与椭
①比如，对未知函数和常数数， (1)
就是一个很简单而极重要的微分方程，而函数 就是微分方程(1)的一个解。
②拉撒路·富克斯(1833-1902)是德国数学家，早年研究几何与数论，后对微分方程理论有重要贡献。
圆函数的推广。三角函数的周期性，是一种平移变换下函数的不变性。椭圆函数有两种周期，它在两种平移变换下不变。庞加莱要的自守函数，是在某一类分式线性变换下不变，而这类变换构成一个。他到的自守函数中有一类被他称为富克斯②函数。庞加莱
求索富克斯函数的经历，是一个颇为典型的数学创造过程。最初，有两周以上的日子里，他每天研究一数学家小故事
两个小时均无进展，以至怀疑这种函数的存在性。一天晚上，他反常地喝了一大杯未加牛奶和白糖的所谓黑咖啡，久久不能入睡，各种想法纷至沓来。他终于恍然大悟，明白确实存在
要的函数。次日，从与椭圆函数相类比出发，他顺利地构造出一种由超几何级数构成的富克斯函数，它们在相应的富克斯变换下不变。后来因地质考察中断了这项研究。一次考察的
出行途中换乘公共汽车，在庞加莱的脚迈上汽车踏板的一刹那，一种想法突然闪现在他的脑海：上次的富克斯变换与一种非欧几何变换等价。回到卡昂通过推理，他证明了换车时产生的想法是正确的。但在更进一步的研究时遇到了障碍。无奈之下他去海滨休息几天。一天早晨，庞加莱沿着海边峭壁漫步，海风拂面清新宜人；一种想法又蓦地浮上心头：一种二次型的数论变换与那非欧几何变换也是等价的。再回到卡昂后，庞加莱仔细分析二次型的例子，终于看出，存在不同于以前由超几何级数构成的另类富克斯函数。往下任务就
是构造新的富克斯函数。他有条不紊地解决了所有外围的问题。核心难题的解决不能指望一蹴而就。因服兵役又中断了研究而在外面四处奔波，一天庞加莱穿过一条大街时，挡住他通向胜利终点的难题的解答，突然出现在他脑海中。他警觉地停止思考，以免与疾驶过来的马车相撞。实际上直到服役结束，他才得以全面展开研究。由于素材齐备，后期工作并无多大困难。他关于富克斯函数的第一篇论文终于完成，并在1882年发表。
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