甘肃省兰州市2021年中考数学试卷
一、选择题(本题15小题，每小题4分，共60分)
1、(2021•兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A、 B、ax2+bx+c=0 C、(x﹣1)(x+2)=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0
考点:一元二次方程的定义。
专题:方程思想。
分析:一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答:解:A、由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．
故选C．
点评:本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2、(2021•兰州)如图，某反比例函数的图象过点M(﹣2，1)，则此反比例函数表达式为( )
A、y= B、y=﹣ C、y= D、y=﹣
考点:待定系数法求反比例函数解析式。
专题:待定系数法。
分析:利用待定系数法，设，然后将点M(﹣2，1)代入求出待定系数即可．
解答:解:设反比例函数的解析式为(k≠0)，
由图象可知，函数经过点P(﹣2，1)，
∴1=，
得k=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣．
故选B．
点评:本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式:图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．
3、(2021•兰州)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于( )
A、20° B、30° C、40° D、50°
考点:切线的性质；圆周角定理。
专题:计算题。
分析:先连接BC，由于AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=25°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°，再利用三角形外角性质可求∠D．
解答:解:如右图所示，连接BC，
∵AB 是直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=25°，
∴∠CBA=90°﹣25°=65°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=25°，
∴∠D=CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．
故选C．
点评:本题考查了直径所对的圆周角等于90°、弦切角定理、三角形外角性质．解题的关键是连接BC，构造直角三角形ABC．
4、(2021•兰州)如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为( )
A、 B、 C、 D、
考点:锐角三角函数的定义；旋转的性质。
分析:过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
解答:解:过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB==，
∴tanB′=tanB=．
故选B．
点评:本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5、(2021•兰州)抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是( )
A、(1，0) B、(﹣1，0) C、(﹣2，1) D、(2，﹣1)
考点:二次函数的性质。
专题:函数思想。
分析:将原抛物线方程y=x2﹣2x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程顶点坐标．
解答:解:由原方程，得
y=(x﹣1)2，
∴该抛物线的顶点坐标是:(1，0)．
故选A．
点评:本题考查了二次函数的性质．解题时，将原方程的一般形式利用完全平方差公式转化为顶点式方程后，再来求其顶点坐标．
6、(2021•兰州)如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是( )
A、 B、 C、 D、
考点:由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。
专题:作图题。
分析:到从正面看所得到的图形即可．
解答:解:从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，右边1个正方形．
故选D．
点评:本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7、(2021•兰州)一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是( )
A、m=3，n=5 B、m=n=4 C、m+n=4 D、m+n=8
考点:概率公式。
专题:计算题。
分析:由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解答:解:根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有=，
整理得，m+n=8，
故选D．
点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．
8、(2021•兰州)点M(﹣sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A、() B、(﹣) C、(﹣) D、(﹣)
考点:特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标。
分析:先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
解答:解:∵sin60°=，cos60°=，
∴点M(﹣)．
∵点P(m，n)关于x轴对称点的坐标P′(m，﹣n)，
∴M关于x轴的对称点的坐标是(﹣)．
故选B．
点评:考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．
9、(2021•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b2﹣4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a﹣b＜0；(4)a+b+c＜0．你认为其中错误的有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
考点:二次函数图象与系数的关系。
专题:函数思想。
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答:解:(1)根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0；
故本选项正确；
(2)由图象知，该函数图象与y轴的交点在(0，1)，
∴c＜1；
故本选项错误；
(3)由图示，知
对称轴x=﹣＞﹣1；
又函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，
故本选项正确；
(4)根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，
∴a+b+c＜0；
故本选项正确；
综上所述，我认为其中错误的是(2)，共有1个；
故选D．
点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10、(2021•兰州)用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )
A、(x+1)2=6 B、(x+2)2=9 C、(x﹣1)2=6 D、(x﹣2)2=9
考点:解一元二次方程-配方法。
专题:方程思想。
分析:配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答:解:由原方程移项，得
x2﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴(x﹣1)2=6．
故选C．
点评:此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11、(2021•兰州)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A、x(x﹣1)=2070 B、x(x+1)=2070
C、2x(x+1)=2070 D、
考点:由实际问题抽象出一元二次方程。
分析:根据题意得:每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解答:解:根据题意得:每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，
∴全班共送:(x﹣1)x=2070，
故选:A．
点评:此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．
12、(2021•兰州)如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为( )
A、6 B、13 C、 D、
考点:垂径定理；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形。
专题:计算题。
分析:延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，推出AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．
解答:解:延长AO交BC于D，
连接OB，
∵AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，
∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=3，
∴OD=3﹣1=2，
由勾股定理得:OB==．
故选C．
甘肃中考点评:本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键．
13、(2021•兰州)现给出下列四个命题:①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是( )
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