不同借贷利率下的投资组合的有效前沿
屠新曙1 巴曙松2小学二年级评语
1. 湘潭大学商学院，湖南湘潭，411105
2. 北京大学中国经济研究中心，北京，100871
摘 要：可爱女生网名大全Sharp、Lintner和Mossin发现的资本资产定价模型（CAPM）是一个一般均衡模型，不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。因此CAPM为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础。然而，CAPM假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷出，这在现实的市场运作中是无效的。事实上，投资者借入资金需要支付比贷出或投资资金更高的利率。所以探讨不同利率下的投资组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。本文研究了不同借贷利率下投资组合的有效前沿，并运用我们自己创立的一种几何方法给出了该有效前沿的方程。在本文中，我们首先把Markowitz模型的有效前沿用投资组合的权重向量表示出来[7]，然后将不同借贷利率下的资本市场线（CML）也用投资组合的权重向量表示出来，再
由CML的定义就在Markowitz模型的有效前沿上分别求出不同借贷利率下资本市场线与Markowitz模型有效前沿的切点，同时也得到不同借贷利率下CML的斜率，这样我们就得到了不同借贷利率下投资组合的有效前沿。
关键词：市场投资组合，有效前沿，资本市场线
1.引言
在二十世纪后半期，华尔街发生了两次数学革命，使数学规划和随机方程等数学工具和方法在金融实践中的应用得到了很大的发展。1952年，Harry.M.Markowitz发表了著名的论文“Portfolio Selection”，标志了华尔街第一次数学革命的开始 [1]。该论文提出的均值-方差分析首次定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系，使人们可以系统地描述和解决投资组合的最优化问题，它在投资组合理论中具有关键作用。Markowitz模型是规范性的——它指明了投资者应该如何去行动，这一行动需要解决如下隐含的问题：（1）证券的价格行为；（2）投资者期望的风险-回报率关系的类型；（3）衡量证券风险的适当方法。1964-1966年，Sharp、Lintner和Mossin分别独立地发现了资本资产定价模型（CAPM），这是一个一般均衡模型，它试图为这些问题提供较为明确的答案[2-5]。
CAPM不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。因此CAPM为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础。然而，CAPM假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷出，这在现实的市场运作中是无效的。金融中介机构在贷出资金时的利率会比借入时高，这样投资者的利差中包括了自身的边际利润和对信用风险的补偿增益，因此借入资金需要支付比贷出或投资资金更高的利率。所以探讨不同利率下的投资组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。
延绵的意思本文研究了不同借贷利率下投资组合的有效前沿，并运用我们自己创立的一种几何方法给出了该有效前沿的方程。在本文中，我们首先把Markowitz模型的有效前沿用投资组合的权重向量表示出来[7]，然后将不同借贷利率下的资本市场线（CML）也用投资组合的权重向量表示出来，再由CML的定义就在Markowitz模型的有效前沿上分别求出不同借贷利率下资本市场线与Markowitz模型有效前沿的切点，同时也得到不同借贷利率下CML的斜率，这样我们就得到了不同借贷利率下投资组合的有效前沿。我们的目标是开发一种理论，这种理论是不同借贷利率下的投资组合理论，同时我们还提供计算不同借贷利率下投资组合有效前沿的算法工具。我们强调在算法上，不同借贷利率下投资组合的有效前沿通常不能
用简单的分析工具进行演算。
2.Markowitz模型的有效前沿[6]
投资组合的构建就是选择纳入投资组合的证券并确定其适当的权重，即各证券所占该投资组合的比例。Markowitz模型表明，构建投资组合的合理目标应是在给定的风险水平下形成一个具有最高回报率的投资组合，或者是在给定的回报率水平下形成一个具有最小风险的投资组合。具有这种特征的投资组合叫做有效的投资组合，它们位于下列模型的解集合中。
其中，，是第种资产的预期回报率，是投资组合权重向量，是种资产间的协方差矩阵，和分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。称为回报率的标准差，表示投资组合的回报率偏离的幅度，被Markowitz用于度量投资组合的风险。
我们知道，模型的解集合在空间中是图1中的抛物线AB，被称为投资组合的有效前沿。
图1 有效前沿
由我们发表在《中国管理科学》（2000年第3期）的工作“求解投资组合最优权重的几何方
法”可知，这个有效前沿可由下列n-2个方程构成的线性方程组表示：
(2.1)
其中
3.不同借贷利率下的资本市场线（CML）及投资组合的有效前沿
在CAPM的世界里，决定有效组合的风险与收益关系是一件简单的事情。图2以图形的方式生动地描述了它。代表无风险利率，有效组合落在从出发与原Markowitz模型有效前沿相切的直线上。这条直线就是大家所知的资本市场线（CML），它具有如下方程：
(3.1)
在这里，和分别代表切点M的期望回报率与标准差。
图2 资本市场线
我们将（3.1）式改写为如下形式：
(3.2)
下面我们来讨论不同借贷利率下的资本市场线。假设投资者的借入利率为，贷出利率为，
则不同借贷利率下的资本市场线分别是图3中的CML1和CML2，它们的方程分别是：
(3.3)
(3.4)
因此，要求出不同借贷利率下的资本市场线，我们只需求出它们的斜率和即可。
将（3.3）转化为如下形式：
(3.5)
图3
将模型中的和代入（3.5），就得到：
(3.6)
因为线性方程组(2.1)的秩是，所以它的基础解系的个数是1，即都可由表示（利用消元法可得）。由于，因此也可由表示。将代入（3.6）式，就得到关于的一元二次方程，因为点是切点，所以只有一个根。由求根公式，就可求出和，然后就自然得到的值，这就得到点处的权重了，同时也由的值得到CML1方程。再由下面两式：
(3.7)
(3.8)
我们就分别切点的期望回报率和方差、。
类似地，由方程（3.4）可得、CML2方程及切点的期望回报率和方差、。
得到不同借贷利率下的资本市场线CML1和CML2后，我们就能确定不同借贷利率下投资组合的有效前沿，它就是图3中的实线，这是由两条直线（CML2和CML1）和一段弧线（）组成的折线。这时，投资者有三种可供投资选择的期望回报率：（1）当投资者的期望回报率低于时，他就贷出无风险资产和投资于风险资产；（2）当投资者的期望回报率介于和之间时，他就仅投资于风险资产；（3）当投资者的期望回报率高于时，他就借入无风险资产并投资于风险资产。
4.算例
为了说明不同借贷利率下投资组合有效前沿的具体算法，我们将考虑美国市场上三种主要的资产类型：国际权益类、美国国内股票类和长期债券。这三类证券是被投资组合经理或大型的投资者经常使用的，或是作为所考虑的资产类型的全体，或是作为所考虑的资产类型的重要部分，而其他部分尚可扩充。因此这些资产可以看作资产配置所产生的这一类实际效果的代表，同时又能清楚地说明其应用过程。
皮影制作表4—1表示这三类资产在1926~1993年间各自实现的年回报率和这些回报率的标准差以及这些资产类型之间的相关性[7]。假设银行的存贷利率分别为2.0%和3.7%，则投资者的借
贷利率分别为3.7%和2.0%。
表4—1 三类风险资产的风险—回报率数据（1926~1993年）
资产类型 | dnf武器强化技巧回报率平均值（%） | 回报标准差（%） | 相关性 | ||
国际股票 | 15.5 | 30.3 | 1.0 | 0.56 | 0.22 |
U.S.股票 | 12.3 | 20.5 | 0.56 | 1.0 | 0.14宠物用品进货 |
长期债券 | 5.4 | 8.7 | 0.22 | 0.14 | 1.0 |
由表4—1，我们知道：，
即
所以，方程组(2.1)变为方程：
(4.1)
因而
由于，因此方程（3.6）变为：
(4.2)
将、 和
代入（4.2），就得到关于的一元二次方程：
(4.3)
由求根公式，要使只有一个根，就必须满足：，即
(4.4)
解之，得：
或
同时，可得
将代入到和中，得：
因此，我们就得到切点的投资权重：
由公式（3.7）和（3.8），就分别得到切点的期望回报率和方差：
所以，切点的回报率标准差为：。
此时，投资者借入利率下的资本市场线（CML1）为：
同理，由，可得：，以及切点的投资权重：
由公式（3.7）和（3.8），就分别得到切点的期望回报率和方差：
所以，切点的回报率标准差为：。
此时，投资者贷出利率下的资本市场线（CML2）为：
5.结束语
本文开发了一种方法去解决不同借贷利率下投资组合的有效前沿问题，同时也给出了求不同借贷利率下资本市场线（CML）的一种方法。这对投资组合理论的发展及其在实践中的具体应用都有重大意义。
参 考 文 献
[1]Harry Markowitz, Portfolio Selection, Journal of Finance, March 1952, 77-91.
[2]William Sharp, Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance, 1964, 19(3): 425-442.
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