基于代理模型的优化方法介绍
基于代理模型的优化方法介绍
建模方法一，代理模型的简介
许多工程设计问题，需要通过模拟实验来评估采用不同设计参数时的目标函数和约束函数。例如，为了到最佳的机翼形状，常常针对不同的形状参数（长度，曲率，材料等）模拟机翼周围的气流。对于许多实际问题，单次模拟可能需要数分钟、数小时、甚至数天才能完成。因此，类似设计优化、设计空间搜索、灵敏性分析和假设分析这种，需要数千、甚至数百万次模拟的任务，直接对原模型求解将是不可能的。
改善这种情况的一个办法就是使用近似模型（被称为代理模型，响应曲面模型，元模型或模拟器）来模拟高精度模拟模型。代理模型的计算结果与原模型非常接近，但是求解计算量较小。代理模型采用一个数据驱动的、自下而上的办法来建立。一般假定原模拟过程的内部精确处理过程未知（有时也可能已知），但是该模型的输入-输出行为则非常重要。通过在仔细选择的有限个点（输入）计算原模型的响应（输出），从而建立代理模型。这一过程也被称为行为建模或者黑箱模型，但是这两个名字会造成歧义。如果只涉及唯一的变量，这一过程也被称为曲线拟合。
二，代理模型的意义
代理模型是一种包含试验设计和近似算法的建模技术，在设计优化过程中用代理模型替代原有的高精度分析模型，可以提高仿真优化的寻优效率，降低算法的计算成本。
三，建立代理模型的方法
3.1  响应面模型法（Response Surface Methodology）
响应面分析法是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。
计算原理：
由于响应面法描述的是一组独立输入变量与系统输出响应之间某种近似关系，因此通常可用下式来描述输入变量和输出响应之间的关系。
()()ε
y
y~
x
+
=x
式中，－响应实际值，是未知函数；
－响应近似值，是一个已知的多项式；
－近似值与实际值之间的随机误差，通常服从的标准正态分布。
在Isight 近似模型方法中，可以是一阶、二阶、三阶和四阶多项式。其中，第三阶和第四阶模型中没有混合项（交互项）。构造响应面模型的最少样本点数依赖与模型阶数和输入变量的个数，如表10-2所示：
表10-2响应面模型表达式
项选择方法（Term selection method ）
多项式中项的构成决定了响应面模型的质量和精度。Isight 提供了四种项选择的方法，以残差平方和（RSS, Residual Sum of Squares ）最小作为目标，进行项的最佳选择。残差平方和公式表达如下：
()
∑=-=n
i i i y y RSS 1
2
~
式中，i y 是响应实际值；i
y ~
是响应近似值；n 是构造响应面模型的样本点数。
四种项选择的方法如表10-3所示：
表10-3 项选择方法
3.2  反距离加权法
反距离加权法（也称为距离反比法）认为被估单元块的属性与其周围一定距离内已知点的属性有关，并且认为这种关系与已知点到被估单元块中心点的距离的n次幂成反比。计算公式为：
式中: Z0表示估计值；Z i为第 i( i = 1，2，3··n ) 个样本的属性值；p
为距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差；D i 为距离幂 p越高，内插结果越平滑，常选用 p = 2
3.3  克里金法
克里金法（Kriging）是依据协方差函数对随机过程/随机场进行空间建模和预测（插值）的回归算法 [1]。在特定的随机过程，例如固有平稳过程中，克里金法能够给出最优线性无偏估计（Best Linear Unbiased Prediction, BLUP），因此在地统计学中也被称为空间最优无偏估计器（spatial BLUP）
普通Kriging
Kriging 模型存在不同的变种，根据其采用的全局趋势函数不同，可分为：简单Kriging，普通Kriging和泛Kriging。普通Kriging公式如下：
式中是Z在未知点X0处的估计
泛克里金（Universal Kriging, UK）
在已知随机场是各项同性的固有平稳过程和漂移量（drift）的叠加时，可以使用泛克里金对随机场进行建模。泛克里金假设漂移量是一系列已知解析函数
的线性组合 [1]：
式中是随机场的漂移，是满足各向同性假设的固有平稳随机场。最常见的漂移是线性函数，对应具有线
性趋势的随机场。泛克里金的问题表述和克里金方差与普通克里金相同，其无偏估计条件有如下表述 [1]：
当且时，泛克里金与普通克里金的无偏估计条件等价，因此普通克里金可以视为泛克里金的一个特例。将上式作为拉格朗日乘子可得泛克里金

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