蚌埠市２
０２２届高三年级第二次教学质量检查考试数 学（理工类）
本试卷满分１５０分，考试时间１
２０分钟注意事项：
１ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２ 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
１ 已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２
＋ｘ－２＜０｝，则Ａ∪Ｂ＝
Ａ ｛ｘ｜－２＜ｘ＜１｝Ｂ ｛ｘ｜－１＜ｘ＜１｝Ｃ ｛ｘ｜ｘ＞－１｝
Ｄ ｛ｘ｜ｘ＞－２｝
２ 设复数ｚ＝１＋２ｉ()
２－ｉ
２
０２２
，则ｚ
＝Ａ １Ｂ －１Ｃ ｉＤ －
ｉ
第３题图
３ 《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式值的秦九韶算法，
如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例 若输入的ｘ＝１，则输出的ｙ值是Ａ ２ Ｂ １６Ｃ ３２
Ｄ ６４
４ 已知α，β为锐角，ｔａｎα＝１
２
，ｔａｎ（α＋β）＝１，则ｃｏｓ２β
＝Ａ １３ Ｂ －１３ Ｃ ４５ Ｄ
３５
５ 已知双曲线ｘ２
ａ
２－ｙ２
＝１（ａ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过点Ｆ２作一条渐近线的垂线，
垂足为Ｐ 若△ＰＦ１Ｆ２的面积为槡２２，则该双曲线的离心率为Ａ 槡
２３３
Ｂ 槡
３２４
Ｃ ３
Ｄ 槡
１４
３
６ 某市有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五名的名次 Ａ校
领导和Ｂ校领导去询问成绩，回答者对Ａ校领导说“很遗憾，你和Ｂ校都没有得到第一名”，对Ｂ校领导说“你也不是最后一名” 从这两个回答分析，这五个学校的名次排列的不同情况共有Ａ ２７种
Ｂ ３６种
Ｃ ５４种
Ｄ ７２种
７ 函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ
πｘ()
２
１－ｌｎ｜ｘ｜
的图象大致为
８ 将函数ｆ（ｘ）槡
＝３ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２
ｘ－１的图象向右平移π
６
个单位长度后得到函数ｇ（ｘ）的图象，
则函数ｇ
（ｘ）＝Ａ ２ｓｉｎ２
ｘ－π()６
Ｂ ２ｓｉｎ２ｘ＋π()６Ｃ ２ｃｏｓ２ｘ－π()６Ｄ ２ｃｏｓ２
ｘ＋π()
６
９ 若正实数ｘ，ｙ满足ｘ＋ｙ≥３
，ｘ－ｙ≤３
{
，则ｚ＝２ｘ＋ｙ的值不可能是
Ａ １２Ｂ ９Ｃ ６Ｄ
３ 第１０题图
１０ 如图，正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｑ为Ｂ１Ｃ１的中点，
点Ｎ为ＤＤ１的中点
有下列四个结论：①ＣＱ∥平面ＡＤＤ１Ａ１；②ＢＮ⊥平面ＡＣＣ１Ａ１；③ＣＱ⊥ＢＮ；④异面直线ＢＮ与ＣＤ所成角为４５° 其中正确的结论有Ａ ①② Ｂ ①③Ｃ ②④ Ｄ ①④１１ 已知向量｜ＯＡ→｜＝｜ＯＢ→｜＝１，若｜ＯＡ→＋ＯＢ→槡
｜＝２，ＯＣ→＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα），则（ＯＢ→－ＯＡ→）·ＡＣ→
的最大值为
槡Ａ ３＋３Ｂ ３
２槡
槡槡＋３Ｃ １＋２Ｄ ２１２ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３
（９ｘ＋９）－ｘ，设ａ＝ｆ９()１０，ｂ＝ｆ１－ｅ－９()１０，ｃ＝ｆｌｎ１１ｅ()
１０
，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为Ａ ａ＜ｂ＜ｃＢ ｃ＜ｂ＜ａＣ ｂ＜ａ＜ｃＤ ｃ＜ａ＜ｂ
二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２
０分 １３ 设抛物线ｙ２
＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（２，ｍ）到ｙ轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的
标准方程为
１４ 某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量ｙ（度）与气温ｘ（℃）之间的关系，随机
统计了某４天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（℃）１８１３１０－１用电量（度）
２４
３４
３８
６４
由表中数据，得线性回归方程ｙ∧
＝－２ｘ＋ａ，当气温为－５℃时，预测用电量的度数约为
１５ 已知定义域为Ｒ的函数ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称，且满足ｆ
（３－ｘ）－ｆ（－ｘ）＝０ 若曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（６，２）处切线的斜率为４，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（２０２２，ｆ（２０２２））
处的切线方程为
第１６题图
１６ 我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险
救灾、视频拍摄、环保监测等领域 如图，有一个从地面Ａ处垂直上升的无人机Ｐ，对地面Ｂ
，Ｃ两受灾点的视角为∠ＢＰＣ，且ｔａｎ∠ＢＰＣ＝１
３
，无人机对地面受灾点Ｄ的
俯角为３０° 已知地面上三处受灾点Ｂ，Ｃ，Ｄ共线，且∠ＡＤＢ＝９０°，ＢＣ＝ＣＤ＝１ｋｍ，则无人机Ｐ到地面的距离
ＰＡ＝ｋｍ
三、解答题：共７０分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第１７～２１题为必考题，每个试
题考生都必须作答 第２
２、２３题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共６
０分 １７ （
１２分）已知等差数列｛ａｎ｝与正项等比数列｛ｂｎ｝满足ａ１＝ｂ１＝３，且ｂ３－ａ３＝ａ５＋ｂ２＝
２０ （１）求数列｛ａｎ｝和数列｛ｂｎ
｝的通项公式；（２）设ｃｎ＝１ａｎ·ａｎ＋１
＋（－１）ｎ
ｂｎ，求数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ
１８ （
１２分）第２４届冬奥会将于２０２２年２月４日至２月２０日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运
动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力
２０ｋｍ男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，
分成５个阶段：第１圈滑行后卧射，第２圈滑行后立射，第３圈滑行后卧射，
第４圈滑行后立射，第５圈滑行直达终点 比赛时，运动员单个出发，随身携带支和２０发子弹，每轮射击发射５发子弹，每脱靶一次加罚１分钟 成绩的计算是越野
滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜 已知甲、乙两名参赛选手
在射击时每发子弹命中目标的概率均为０
８ （１）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间Ｘ的分布列及期望；（２）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚
了３分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后４位）
（参考数据：０ ８５＝０ ３２７６８，０ ８４
＝０ ４０９６ ）１９ （１２分）
第１９题图
如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎ∠ＡＢＣ槡
＝３，斜边ＢＣ＝４，现将Ｒｔ△Ａ
ＢＣ绕ＡＣ旋转一周得到一个圆锥，ＢＤ为底面圆的直径，点Ｐ为圆锥的内切球Ｏ与Ｃ
Ｄ的切点，Ｂ１为圆锥底面圆周上异于Ｂ，Ｄ的一点 （１）求证：ＰＡ∥平面ＣＢＢ１；（２）当ＢＢ１槡
＝２２时，求二面角Ａ－ＰＢ１－Ｃ的正弦值．
２０ （１２分）
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸
活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图１
）
第２
０题图步骤１：设圆心是Ｅ，在圆内异于圆心处取一点，标记为Ｆ；步骤２：把纸片折叠，使圆周正好通过点Ｆ；步骤３：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤４：不停重复步骤２和３，就能得到越来越多的折痕（如图２
） 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆 若取半径为４的圆形纸片，设定点Ｆ到圆心Ｅ
的距离为２，按上述方法折纸
（１）以点Ｆ，Ｅ所在的直线为ｘ轴，线段ＥＦ的中垂线为ｙ轴，建立坐标系，求折痕所围成的
椭圆Ｃ（即图１中Ｍ点的轨迹）的标准方程．
（２）如图３，若直线ｍ：ｙ＝－１２ｘ＋ｓ（ｓ＞０）与椭圆Ｃ相切于点Ｐ，斜率为１
２
的直线ｎ与椭圆Ｃ
分别交于点Ａ，Ｂ（异于点Ｐ），与直线ｍ交于点Ｑ 证明：｜ＡＱ｜，｜ＰＱ｜，｜ＢＱ｜成等比数列 ２１ （１２分）
已知函数ｆ
（ｘ）＝ｌｎｘｅｘ，ｇ（ｘ）＝ａｘ－ａ （１）求证：
ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ
ｅ
ｘ存在极大值点 （２）若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象有两个交点，求实数ａ的取值范围
（二）选考题：共１０分 请考生在第２２、２３题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分．２２ ［选修４－４：坐标系与参数方程］
（１０分）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα
，ｙ＝ｓｉｎα－ｃｏｓα
{
，其中α为参数 以原点为极
点，ｘ轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线ｌ的极坐标方程为槡２ρｓｉｎ（θ
＋π
４
）＝６ （１）求曲线Ｃ的普通方程和直线ｌ的直角坐标方程；（２）设曲线Ｃ上的点Ｐ到直线ｌ的距离为ｄ，求ｄ的取值范围
２３ ［选修４－５：不等式选讲］
（１０分）已知函数ｆ
（ｘ）＝｜ｘ＋ａ｜＋｜ｘ－１｜ （１）当ａ＝１时，求不等式ｆ（ｘ）≥３的解集；（２）若ｆ（ｘ）≥３成立，求实数ａ的取值范围
蚌埠市２
０２２届高三年级第二次教学质量检查考试数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号１２３４５６７８９１０１１１２答 案
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
二、填空题：
１３ ｙ２
＝８ｘ １４ ７０ １５ ｙ＝４ｘ－８０８６ １６ ０ ５或１三、解答题
１７ （１２分）
（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，等比数列｛ｂｎ
｝的公比为ｑ（ｑ＞０），由题意得３ｑ２
－（３＋２ｄ）＝２０，
（
３＋４ｄ）＋３ｑ＝２０{
，３分
………………………………………………………解得ｄ＝２，ｑ＝３，所以ａｎ＝２ｎ＋１，ｂｎ＝
３ｎ
．６分…………………………………………（２）因为ｃｎ＝１ａｎ·ａｎ＋１
＋（－１）ｎｂｎ＝１（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）＋（－３）ｎ
，８分……………………所以Ｓｎ＝１２（１３－１５＋１５－１７＋…＋１２ｎ＋１－１２ｎ＋３）＋－３［１－（－３）ｎ
秦九韶著作］
１－（－３）
１０分……＝１２（１３－１２
ｎ＋３）＋
－３［１－（－３）ｎ
］４故Ｓｎ＝ｎ６ｎ＋９＋３［（－３）ｎ
－１］
４
．１２分……………………………………………………１８ （１２分）
（１）因为一轮射击中，共发射５发子弹，脱靶一次罚时１分钟，
所以一轮射击中，被罚时间Ｘ的值可能为０
，
１，２，３，４，５ １分…………………………Ｐ（Ｘ＝０）＝０ ８５＝０ ３２７６８，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１５
０ ２×０ ８４
＝０ ４０９６，Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２５（０ ２）２×０ ８３＝０ ２０４８，Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３５
（０ ２）３×０ ８２
＝０ ０５１２，Ｐ（Ｘ＝４）＝Ｃ４５（０ ２）４×０ ８＝０ ００６４，Ｐ（Ｘ＝５）＝Ｃ５５（０ ２）５＝０ ０００３２，所以Ｘ的分布列为
Ｘ０１２３４５Ｐ
０ ３２７６８
０ ４０９６
０ ２０４８
０ ０５１２
０ ００６４
０ ０００３２
６分
…………………………………………………………………………………………依题意，
被罚时间Ｘ满足二项分布，所以ＥＸ＝５×０ ２＝１；８分………………………（２）依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，
第一种情况，甲５发子弹都击中，乙击中０发或１发；第二种情况，甲击中４发子弹，乙
击中０发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为Ｐ＝０ ８５×（０ ２５＋Ｃ１５０ ２４×０ ８）＋Ｃ１５
０ ２×０ ８４×０ ２５
＝０ ００２３ １２分………………１９ （１２分）
（１）由切线长相等可知ＤＰ＝ＤＡ，又由ｔａｎ∠ＡＢＣ槡＝３，可知ＤＡ＝１
２
ＤＣ，
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