数学文化
名词解释
数学文化:狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。
        广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。
              本课中使用“数学文化” 一词，更多地倾向于它的狭义解释。
黄金分割率: 把任一线段分割成两段，
使          ，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）
菲波那奇数列: (1） 公式:用Fn表示第n个月大兔子的对数，则有二阶递推公式
               
     
     
(2） 斐波那契数列
                    令n = 1, 2, 3,…  依次写出数列，就是 
                      1，1，2，3，5，8，13，21，34，
                      55，89，144，233，377，…
                      这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。
有理数: 两个整数之比为有理数
无理数:像      这样的数  ，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。
数学素质: 数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”
哥德巴赫猜想: 哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想：
              1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；
              2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
孪生数对: 两个数被称为孪生数对，如果其中任意一个数的所有约数之和等于另外一个数。
数学思维: 是一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。
自我生成数: 任意一个具有某种性质的整数将它各位上的数字，如果按照一定规则对其进行数次变换，最后落在一个不变的数上，这个不变的数就被称作“自我生成数”，或者叫“自恋数”。
欧几里德几何的第五公设:若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
黎曼几何:用过直线外一点，不能作任何直线与已知直线平行这一原理扩充罗氏几何
得到的另一种非欧几何系统。
费尔马大定理: 当n≥3时,不定方程 xn + yn = zn 没有正整数解。
简答题
1、数学的定义、特点与分类.
定义:恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。数学的15个“定义”: 1）哲学说2）符号说　3）科学说　4）工具说5）逻辑说　6）创新说　7）直觉说  8）集合说  9）结构说（关系说  10）模型说 11）活动说 12）精神说13）审美说14）艺术说15）万物皆数说
特点: 高度的抽象性,严密的逻辑（精确）性,应用的广泛性,推理的严密性,结论的确定性.
分类: ：1从纵向划分： 初等数学和古代数学、变量数学 、近代数学、现代数学。
2从横向划分： 基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支） 、  应用数学、  计算数学 、 概率统计、  运筹与控制论 、
2、芝诺悖论及其症结所在
阿基里斯是古希腊神话里跑的最快的人,但如果他前面有一只乌龟(正从A点向前爬),他永远也追不上这只乌龟.理由如下:他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A,但当他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点,他要追上乌龟又必须经过B点,但当他追到B点的时候,乌龟又爬到了C点......所以阿基里斯永远也追不上乌龟!
症结: 无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。
3、历史上的三次数学危机产生的根源与解决
三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。
第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。
第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。
解决:无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
第3次危机;为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。
4、数系的进化
5、数学抽象的特
在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式，舍弃诸如彩、品质等因素；（比如：数、点、线等原始概念）
数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度远远超过了其它学科的一般抽象；（比如：从点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般的拓扑空间等）
数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系之中。
6、数学美主要体现在哪几方面
1. 数学美的简洁性（符号美、抽象美、统一美、常数美）
2. 数学美的和谐性（和谐美、对称美、序列美、节奏美、形式美）
3. 数学美的奇异性（奇异美、有限美、神秘美、对比美、滑稽美）
7、数学教育过程最主要的三方面内容
数学知识与方法及其应用的传授；
数学思想的渗透；
数学美学价值的开发与欣赏（数学美：和谐、对称、有序；规律性的（三角公式、几何结论等）和非规律性的（分形等））。
8、简述“中国的剩余定理”
设              两两互素，设x分别被             
除所得的余数为              ，则x可表示为下式
其中D是                的最小公倍数；    是                                       
的公倍数，而且被    除所得余数为1；k是任意整数。
9、非欧几何诞生的主要原因
在欧氏几何体系中，作为其基石的五个公理以及五个公设中的前4个都是容易被认同的。但是，对于第五公设，却没有那么简单明了，它很像一条定理，而且很少被使用，因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它。于是，《几何原本》一问世，人们很快就希望能够消除这种困惑。
10、试列举三位中国历史上的数学家和他们的主要成就
①刘徽，主要成就:《九章算术注》,刘徽原理,割圆术和“徽率”
②杨辉，主要成就:《详解九章算法》,《日用算法》，《乘除通变本末》，《田亩比类乘除算法》
，《续古摘奇算法》等著作。
③秦九韶，主要成就：《数书九章》
11、获利过国际数学奖的华人数学家及所获奖项
①陈省身，1961年被美国科学院推举为院士；1975年，获得美国国家科学奖章；1981年退休后，担任美国数学科学所第一任所长；1984年5月获得世界数学最高奖项--沃尔夫奖。
② 丘成桐-第一个获得菲尔兹奖的华人
③陶哲轩-第二个获得菲尔兹奖的华人
12、毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
      毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数      。
  ②任意两条线段 a、d 都是可公度的
  “可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a=mt  d=nt
三、证明或解答题
1、证明根号2不是有理数
证明：设√2=p/q（ p , q 为正整数） ，则  p= √2q，于是 p平方=2q平方。
    设p 表示为d 个素因数的乘积：p1,p2……pd(1,2……d全部小写)
        q表示为e个素因数的乘积：q1,q2……qe(1,2……e秦九韶著作全部小写)
    于是，p平方是2d个素数的乘积，q平方是2e个素数的乘积。这样，2q平方是2e+1      个素数的乘积，因为它有额外的素因数 2 。
    p平方分解成素数的数目是偶数，2q平方分解成素数的数目是奇数，这违反了算术基本定理。这个矛盾证明了不存在平方是2 的有理数。（“√2是有理数”导致了矛盾。）
2、证明[0,1]中的有理数的长度为0.
所有有理数可以这样写出
1    1/2  1/3  1/4  1/5  …… 1/n
2/1  2/1  2/4  2/4  2/5  …… 2/n
3/1  3/2  3/3  3/4  3/5  …… 3/n
4/1  4/2  4/3  4/4  4/5  …… 4/n
5/1  5/2  5/3  5/4  5/5  …… 5/n
…… …… …… …… …… ……
n/1  n/2  n/3  n/4  n/5  …… n/n
当n→∞时，则所有有理数都在其中
虽有重复，但不会影响后面的正确性。
作一开覆盖:
令e=(1/n)^3/2,对于上面排列中的每一个有理数u=p/q，则u在开区间(u-e,u+e)内，且区间长为(1/n)^3,当n→∞时，是有理数集的一个开覆盖。
而这些区间的和为(n^2)*(1/n)^3=1/n,因此有理数集的长度是零。
3、欧拉七桥问题
若一个顶点若一个顶点发出的弧的条数为奇数时，称为奇顶点；发生的弧的条数为偶数时，称为偶顶点，一笔画一定有一个起点、一个终点和一定数目的通过点，分两种情况考虑：
  第一种：起点和终点不是同一点，把集中在起点的所有弧画完为止，有进有出，最后一笔必须画出去，所以起点必须是奇顶点；另一方面把集中在终点的所有弧线画完为止，最后一笔必须画进来，因此，终点也必须是奇顶点；其它经过的点，有几条弧画进来，必有同样多的弧画出去，必是偶顶点。
    第二种：起点和终点为同一点，又画出去，又画进来，必为偶顶点，其它顶点有进有出也都是偶顶点，因此，欧位得出以下结论：
  1.全是偶顶点的网络可以一笔画。
  2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。
  3.如果一个网络有两个奇顶点，它就可以一笔画，但最后不能回到原来的出发点，这时，必须从一个奇顶点出发，然后回到另一个奇顶点。
  用欧拉的发现去分析七桥问题，这张图上的A、B、C、D全是奇顶点，因此，不能一笔画，所以，游人一次走遍七桥是不可能的。

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