二次方程根的判别式2
二次方程的根的判别式2
【学习目标】
1．知道什么是一元二次方程的根的判别式．
2．会用判别式判定根的情况．
【主体知识归纳】
1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．
【基础知识讲解】
1．根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．
2．根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．
3．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．
4．判别式有以下应用：
(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；
(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；
(3)应用判别式进行有关的证明．
【例题精讲】
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）3x2－2x－1＝0；
（2）y2＝2y－4；
（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；
（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．
解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．
(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．
又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．
(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，
∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，
∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
说明：(1)运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式．
(2)判别式的应用是以方程ax2＋bx＋c＝0中a≠0为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点．
(3)要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题．
例2：已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0．k取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?
解：Δ＝(2k)2－4（k－1）（k＋3）＝－8k＋12．
(1)当－8k＋12＞0，且k－1≠0，即k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当－8k＋12＝0，且k－1≠0，即k＝时，方程有两个相等的实数根；
(3)当－8k＋12＜0，且k－1≠0，即k＞时，方程没有实数根．
说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．
例3:求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(b－x)2－4(a－x)(c－x)＝0必有实数根．
剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方程从形式上不能直接判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得－3x2＋(4a＋4c－2b)x＋b2－4ac＝0，显然是关于x的一元二次方程，所以只要证明Δ≥0即可．
证明:原方程可化为－3x2＋(4a＋4c－2b)x＋b2－4ac＝0，
∴Δ＝(4a＋4c－2b)2－4×(－3)(b2－4ac)＝16a2＋16b2＋16c2－16ab－16bc－16ac
＝8［(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2］
∵不论a、b、c为何值，都有(a－b) 2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0．
∴Δ＝8［(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2］≥0
∴方程必有实数根．
说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明．
例4:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．
剖析：要判断y2＋my－2m＋5＝0根的情况，只要判断Δ2＝m2－4(－2m＋5)＝m2＋8m－20的取值情况即可．而x2＋2x－m－9＝0没有实数根，可得Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，
即m＜－10，而当m＜－10时，m2＋8m－20恒大于零，所以方程y2＋my－2m＋5＝0有两个不等的实数根．
解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．
又y2＋my－2m＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m2－4(－2m＋5)＝m2＋8m－20
当m＜－10时，m2＋8m－20>0，即Δ2>0．
∴方程y2＋my－2m＋5＝0有两个不相等的实数根．
说明：判定Δ2的值用到了Δ1＜0所得的结论m＜－10，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到．
【思路拓展题】
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，一时引起了英国数学界的轰动．由于这一方法有其独到之处，而且对数学科学有很大的推动作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”．
但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在15年前就得出了同样的方法，只是没有及时地报导罢了．因此，意大利数学界要求将这一数学方法命名为“鲁菲尼方法”．于是英、意双方开始了喋喋不休的争论．正巧，有个阿拉伯人前往欧洲，
听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来．争论双方问他，为何这般嘲笑，这位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说到：“你们都不要争了，依我看来，这个方法应该称作“秦九韶方法”．他们这才知道，早在570年前，有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法．双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了．
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳(今四川安岳)人，他自幼随做官的父亲周游过许多地方．20岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安(今杭州)．
秦九韶被父亲送到掌官天文历法的太史院学习．在这里，他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处．
后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方的元兵大举进犯，战乱频繁，他在这种动乱的环境中度过了他的壮年．后来他在《数书九章》中写了“天时”和“军旅”等问题，想必与这段生活有关．
过了几年，秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家为母亲守孝三年．正是在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的数学著作——《数书九章》．
《数书九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有81道数学题目，内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题，在这81道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附有算式和解法．正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，高次方程的解法就是其中最重要的一项．
高次方程就是未知数的最高次幂在3次以上的方程．对于一元二次方程，我们可以用求根公式来解，三、四次方程的求根公式很复杂，至于五次以上的方程，那就没有求根公式了．
那么用什么方法来解决呢?秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它能够把结果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可．
除了高次方程的解法之外，这本书的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作．什么叫同余式呢?
我们还是从“韩信点兵”的故事说起：传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军士们龙腾虎跃，你来我往，好不热闹．韩信问带兵的军官．“你们这里共有多少士兵?”军官说：“人太多太乱，数不准确．”韩信说：“你把令旗给我，我来给你点数．”军官一听，慌忙将令旗奉
上，只见韩信挥起令旗，命令道：“排一长队．”韩信见军士们已排好长队，便交待道：“先从1到3报数，再从1到5报数，最后从1到7报数．报完后，把剩余的人数告诉我，我便知总的军士人数．”
于是，军士们便认真地报起数来，第一报数后余2，第2报数后余3；第3报数后余2．韩信掐指一算，共计233人．
其实，“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”，最早出现在公元4世纪的数学著作《孙子算经》中，原来的问题是这样表述的：“有物不知其数，三个一数余2，五个一数余3，七个一数余2，问该物总数几何?”
这个问题按照现在的人可以列出方程来：设总数为N，x为3人一数的次数，y为5人一数的次数，z为7人一数的次数．则
N＝3x＋2，N＝5y＋3，N＝7z＋2．
三个方程式，但却有四个未知数，这就叫不定方程．解不定方程在现代数论中有一个著名的定理：剩余定理．
但这个问题出现在公元4世纪的中国算书中，他们虽然给出算法，但却没有明确地表述和证明这个定理．
到公元13世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前人的  成果．
秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史院学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满地解决了韩信点兵之类的问题．
秦九韶还有许多数学创造，他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人．他还独立地推导出了已知三边求三角形面积的公式：
S＝（a、b、c为三角形三边）
秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新．他是世界上最伟大的数学家之一，《数书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰．
【同步达纲练习】
1．选择题
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式是(    )
A．．                B．4ac－b2                C．b2－4ac                    D．｜b2－4ac｜
(2)关于x的方程mx2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(    )
A．m＜4                        B．m≤4且m≠0            C．m≥4且m≠0                D．m＜4且m≠0
(3)关于x的方程kx2＋2x－1秦九韶著作＝0无实数根，则k的取值范围是(    )
A．k≠0                        B．k＜－1                C．k≤－1                    D．k＝－1
(4)关于x的方程2x2－3x＋m＝0有两个实数根，则m的取值范围是(    )
A．m＜                    B．m≥                C．m≤                    D．m＜－
(5)关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是(    )

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