长沙一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
长沙市一中高三理数备课组组稿
时量：120分钟满分:150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是
A.4
B.3
C.2
D.1
2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ，则=
z A.2-i B.-l +2i C.-1-2i D.-2+3i
3.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的（B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(l，0)，b=(-3,4)的夹角为θ，则θ2sin 等于
A.257-
B.257
C.2524
- D.25
24
5.设43
432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,，的大小关系是
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.c<b<a
6.函数||lg )33()(x x f x x -+=的图象大致为（D)
7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填
A.i>200?
B.i>201?
C.i>202?
D.i>203?
8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
关注“”，回复“”获取答案
物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有
A.50种
B.60种
C.70种
D.90种
9.将函数)62sin(2)(π-
=x x f 的图象向左平移6
π个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)A.函数)(x g 的最小正周期是
2π
B.函数)(x g 的图象关于直线12π-秦九韶著作
=x 对称C.函数)(x g 在)2,6(ππ上单调递减函数)(x g 在)6
,0(π上的最大值是110.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共
切线，则=
a A.-1 B.0 C.1 D.3
11.设函数⎩⎨⎧=为无理数
为有理数
x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：①1))((,=∈∀x f f R x ;
②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃;
③函数)(x f 是偶函数；
④函数)(x f 是周期函数；
⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.
12.已知三棱锥D—ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS =
DC=1，当三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为
A.35π
B.π2
C.π5
D.3
20π二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线上。
13.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+，且当)23,0[∈x 时，2
)(x x f -=，则=)211(f 14.已知△ABC 是等腰直角三角形，|AC|=|BC|=1，)(2CB CA CP +=，则=⋅)BP AP .
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求兰角形面积的方法以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，
一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式就是)]2
([412
2222b c a c a S -+-=，其中a,b,c 是△ABC 的内角A，B，C 的对边，若sin C=2sin AcosB，且b 2,2,c 2成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为5
52.16.若),0(,),,0(21e x x e m ∈∃∈∀，且21x x ≠，使得22112ln ln 2)2(x ax x ax m -=-=+-，
则实数a 的取值范围是（e 为自然对数的底数）.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知△ABC 是的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，满足
b
c b a B A 2cos cos =+且4=b .(1)求角B；
(2)求△ABC 周长的最小值.
18.(本小题满分12分）
已知四棱锥P—ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD，AC∩BC=0，
PB⊥AC，PA=PB=AB=2CD=22，AC=3.
(1)证明：平面PBD 丄平面ABCD；
(2)点E 是棱PC 上一点，且OE//平面PAD，求二面角E—0B —A 的正弦值.
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:)0>,0>(122
22b a b
y a x =+左、右焦点分别为F1,F2,P 为椭圆C 上一点，且PR 垂直于x 轴，连结并延长交椭圆于另一点Q，设Q F PQ 1λ=.
(1)若点P 的坐标为(1，2
3)，求椭圆C 的方程；(2)若43≤≤λ，求椭圆C 的离心率的取值范围.
20.(本小题满分12分）
某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费榇准互不相同，得到的统计数据如下表，x 为收费标准(单位：元/日）为人住天数(单位：天），以频率作为各自的“人住率”，收费标准x 与y 人住率、的散点图如图.
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列;
(2)令x z ln =，由散点图判断a x b y
ˆˆˆ+=与a z b y ˆˆˆ+=哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程;(b a
ˆ,ˆ的结果精确到0.1)(3)根据第(2)问所求的冋归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L 最大?(100天销售额L=100×入住率×收费标准x ）
已知函数)0<(1)ln()(a a x x x f ++=.
(1)若函数)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围；
(2)证明：cosx e <)(x
+x f .(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程θρcos 6=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为t t y t x (sin 1,cos 2⎩⎨
⎧+-=+=αα为参数）.(1)若2
πα=，求曲线C 的直角坐标方程以及直线/的极坐标方程；(2)设点P(2,-1)，曲线C 与直线l 交于A，B 两点，求22||||PB PA +的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知|1||22|)(-++=x x x f 的最小值为t .
(1)求t 的值；
(2)若实数b a ，满足t b a =+2222，求2
241b a +的最小值，
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